"Выталкивание" дискретных состояний из квантовой ямы

[reterty]

Анализ одномерного финитного движения частицы ("частица в яме") в квантовой механике (анализ решений
стационарного ур-я Шредингера для связанных состояний)
показывает, что при уменьшении глубины ямы число дискретных уровней в ней уменьшается.
Интересно, можно ли используя какие-либо полуклассические соображения обьяснить такое "выталкивание"
уровней энергии из ямы ( попадание состояния в сплошной спектр) или же это чисто квантово-механический эффект (а-ля "обменное взаимодействие")?
Почему с уменьшением глубины ямы энергетические уровни не "утрамбовываются" в ней?

[Ms-dos4]

reterty
Никакого "взаимодействия" тут конечно нет. Рассмотреть это можно с нескольких точек зрения. Во первых - соотношение неопределённостей. К сожалению в случае одномерной ямы оно работает плохо, но всё же - если предположить, что точность локализации частицы есть размер ямы (вообще это НЕВЕРНО, в случае неглубокой ямы ВФ частицы отлична от нуля и достаточно далеко от ямы), то получим минимальную глубину порядка ${U_0} \sim \frac{{{\hbar ^2}}}{{m{a^2}}}$ (вот тут и проявляется неверность - реально один уровень есть всегда, но закономерность видна. В этом смысле трёхмерная сферическая яма много лучше, там действительно если глубина порядком меньше указанной, связанных состояний не будет вовсе).
Второй подход - просто оценка числа уровней квазиклассически, через число ячеек в фазовом пространстве. Для достаточно глубокой ямы получим $n \approx \frac{a}{{\pi \hbar }}\sqrt {\frac{{{U_0}m}}{2}} $.

[v_n]

Для одномерного ур-ния Шредингера вообще нет никакой связи между количеством уровней и глубиной ямы. Связано это с простым математическим фактом, что его можно решить методом обратной задачи рассеяния. То есть по заданной зависимости коэффицентов отражения и прохождения от длины волны и набора дискретных уровней можно полностью восстановить потенциал. Если мы возмем один дискретный уровень и восстановим потенциал (это легко делается если коэффициент отражения равен нулю), то получим потенциал определенной глубины только с одним дискретным уровнем (дурацкая тавтология). Если взять в сто раз больший дискретный уровень, то получим потенциал в сто раз большей глубины но только с одним дискретным уровнем. Также мы можем взять сколь угодно малый дискретный уровень добавить к нему еще 100 уровней в миллиард раз меньшей величины, незначительно повлияв на глубину ямы, и получить потенциал с ровно со 101 дискретным уровнем и очень малой глубины.

[Red_Herring]

Следует помнить, что сама по себе глубина ямы ничего не определяет, важна еще и ширина. Ну и "нехреновость" потенциала. Но в размерности $n\ge 3$ есть хотя бы оценка сверху CLR (где R = Гриша Розенблюм, доказавший более общую оценку и раньше, чем C = Cwikel и L=Lieb)

$$ N^- \le C_n \int V_-^{n/2}\,dx, \qquad V_-=\max(-V,0),\tag(*) $$

причем она неверна с полуклассической константой $C_{n,scl}$. В размерности 2 эта оценка "почти" верна, есть замена, но в размерности 1 она неверна совсем.

Но эта оценка сверху. Снизу без предположений "нехреновости" потенциала ничего быть не может: взяв очень узкую, хотя и глубокую яму, в размерности $\ge 2$ мы получим $N^-=0$. Взяв очень много таких ям, далеко разнесенных, получим то же самое, хотя справа в (*) будет сколь угодно большое число . Т.ч. в примерах v_n конечно, потенциал будет "хреновый".

Но я подозреваю, что ТС имел в виду потенциал очень простого вида $V(x)=-H$ при $|x|\le R$, $V(x)=0$ при $|x|> R$. Ну тогда все решается и все хорошо, с учетом того, что как правильно указал Ms-dos4 в размерности $1$ всегда будет один очень упорный отрицательный уровень. От него можно избавиться допонительным условием $\psi(0)=0$.