доказательство сходимости ряда

[MorisHuxley]

Задача
Докажите, что если сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2$, то сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$
Попытки решения
Если доказать, что $0\leqslant |\frac{a_n}{n}| \leqslant a_n^2$, тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{a_n}{n}|$ в соответствии с признаком сравнения тоже сходится, а раз ряд сходится абсолютно, то и ряд без модуля тоже сходится.
Все было бы хорошо, если бы для меня не было бы совершенно не очевидно соотношение: $0\leqslant |\frac{a_n}{n}| \leqslant a_n^2$, очевидно лишь, что $|\frac{a_n}{n}| \leqslant a_n$. Кроме того, можно ли говорить, что $a_n < 1$?
Подскажите верен ли подход и как вывеси это неравенство?

[Otta]

Неравенство Коши-Буняковского знаете?

[thething]

MorisHuxley
Или квадрат разности применИте. Имею ввиду $(a-b)^2\geqslant{0}$

-- 11.01.2018, 07:05 --

MorisHuxley в сообщении #1283108 писал(а):

можно ли говорить, что $a_n < 1$?

можно, начиная с некоторого номера, т.к. $a_n\to0$

[MorisHuxley]

thething
Например, так?

$(a - \frac{1}{2n})^2 \geqslant 0$

$a^2 - \frac{a}{n} + \frac{1}{4n^2}\geqslant a^2 - \frac{a}{n} \geqslant 0$

$a^2 \geqslant \frac{a}{n}$

[thething]

Вот так $2ab\leqslant{a^2+b^2}$, применИте к Вашему случаю, не забудьте модули навесить

-- 13.01.2018, 18:06 --

MorisHuxley в сообщении #1283776 писал(а):

$a^2 - \frac{a}{n} + \frac{1}{4n^2}\geqslant a^2 - \frac{a}{n} \geqslant 0$

Центральная часть лишняя, выразите $\frac{a_n}{n}$. Не надо отбрасывать $\frac{1}{n^2}$, т.к. из них составится сходящийся ряд.

[MorisHuxley]

thething
Почему же не надо отбрасывать, ведь тут просто сравнение членов последовательности $a_n$ и $\frac{a_n}{n}$, а не частичных сумм и отбрасывание члена больше нуля в данном случае законно. Исправьте меня если не прав. Ну на счет модуля, действительно, иначе, где гарантия, что $\frac{a_n}{n} \geqslant 0$ (см. признак).

Признак сравнения
Пусть $0\leqslant b_k \leqslant a_k$, тогда если ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ сходится, то ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ также сходится.
Иначе достаточно сравнить члены последовательности $a_k$ и $b_k$.

[thething]

MorisHuxley в сообщении #1283790 писал(а):

Почему же не надо отбрасывать, ведь тут просто сравнение членов последовательности $a_n$ и $\frac{a_n}{n}$, а не частичных сумм и отбрасывание члена больше нуля в данном случае законно

Потому что это неправильно. Например, $5\geqslant{0}$ и $5\geqslant{-1}$, следует ли отсюда, что $5\geqslant{-1}\geqslant{0}$?

Ничего отбрасывать не надо, у вас получится при оценке сверху сумма двух сходящихся рядов

[MorisHuxley]

thething
согласен, действительно. Спасибо.