Конформное отображение полуплоскости

[AVV]

Найти конформное отображение верхней полуплоскости с разрезом:

$$ \{ z \,|\, \mathrm{Im}\, z > 0 \} \,\backslash\, ( 0, \sqrt 2 i ] $$

на верхнюю полуплоскость, такое, что переводит граничные точки $-\sqrt 2, \sqrt2 i, \sqrt 2$ в $1, 2, 4$ соответственно.

Найти отображение, игнорирующее требование про граничные точки легко: возведение в квадрат, трансляция, корень. Но такое отображение переводит $\pm \sqrt 2$ в одну точку.

Думал сначала сделать какое-нибудь дробно-линейное преобразование, "снимающее вырождение по $\pm \sqrt 2$", но что-то всё ломающее симметрию этих точек даёт слишком неприятные образы рассматриваемого множества.

[Markiyan Hirnyk]

См 35.14 в М. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций,-Наука, М.:-1972.

[пианист]

AVV в сообщении #1282799 писал(а):

Но такое отображение переводит $\pm \sqrt 2$ в одну точку

Не совсем: после возведения в квадрат точки сходятся, но на разных берегах разреза. А после взятия корня они опять разойдутся.
Ваша манипуляция дает точки (если я не проврался) $-2, 0, 2$. Ну, еще немного подрихтовать.