2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма кубов хитрого набора чисел равна квадрату его суммы
Сообщение09.01.2018, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2540
Уфа
Задачу эту нашёл в учебнике 5-го класса.
Там, правда, требовалось утверждение не доказать, а всего лишь проверить для нескольких конкретных чисел.
Но тут большинство пятый класс закончило :-) Так что предлагаю доказать утверждение для всех чисел.

Итак, для произвольного $n \in \mathbb{N}$ (например, 6) рассмотрим множество его натуральных делителей ($\{1, 2, 3, 6\}$).
Для каждого числа из этого множества, в свою очередь, найдём количество его натуральных делителей.
Получается конечный набор чисел $a_i$ (в нашем случае $(1, 2, 2, 4)$).

Доказать: $\sum a_i^3 = \left(\sum a_i\right)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов хитрого набора чисел равна квадрату его суммы
Сообщение09.01.2018, 17:30 


05/09/16
6039
Пусть $n$ простое.
Тогда $a_1=1;a_2=2$ и равенство выполнено: $1^3+2^3=(1+2)^2$

Пусть для какого-то (необязательного простого) $n$ равенство выполнено. Домножим его на простое $p$, не являющееся делителем $n$.

Если в разложении $n$ на простые множители не было $p$, то количество делителей $np$ увеличится в два раза по сравнению с $n$. Причем, если у $n$ скажем количество делителей равно $k$, то у числа $np$ количество делителей первых $k$ делителей будет равно количеству делителей делителей $n$ (которые мы называем по условию задачи $a_i$), а для делителей с $k+1$-го по $2k$-й окажется что $a_{k+i}=2a_{i}$ (это вроде очевидно -- ко второй половине делителей прибавляется то число, на которое домножили, так что количество делителей удваивается).

На примере $n=6$, $a_i$ следующие: $(1;2;2;4)$ Если теперь умножить $6$ на какое-то простое не являющееся делителем $6$, ну например на $7$, то $a_i$ будут следующие: $(1;2;2;4;2\cdot 1;2\cdot 2;2\cdot 2;2\cdot 4)=(1;2;2;4;2;4;4;8)$

Сгруппируем сумму кубов $a_i$ для числа $np$ следующим образом
$\sum \limits_{i=1}^{k}a_i^3+\sum \limits_{i=k+1}^{2k}a_i^3=\sum \limits_{i=1}^{k}a_i^3+2^3\sum \limits_{i=1}^{k}a_i^3=3^2\sum \limits_{i=1}^{k}a_i^3$
Правая часть равенства (сумма квадратов) получается равна $\left(\sum \limits_{i=1}^{2k}a_i\right)^2=\left(\sum \limits_{i=1}^{k}3a_i\right)^2=3^2\left(\sum \limits_{i=1}^{k}a_i\right)^2$.
Так что домножение $n$, для которого равенство уже выполнено, на простое $p$, не являющееся делителем $n$, сохраняет равенство.

Примерно таким же образом доказываем что при домножении $n$ для которого равенство выполнено на простое $q$, которое является делителем $n$, равенство опять же сохранятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов хитрого набора чисел равна квадрату его суммы
Сообщение09.01.2018, 17:41 
Аватара пользователя


09/08/11
133
СПб
$N=p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}$ --- разложение числа $N$ на простые множители.
Все делители $d$ числа $N$ имеют вид $d=p_1^{\beta_1}\dots p_k^{\beta_k}$, где $0\leq \beta_j\leq \alpha_j$, $j=1,\dots,k$. Число делителей $a$ у делителя $d$ равно $(1+\beta_1)\dots (1+\beta_k)$.
Левая часть:
$$\sum a_i^3=\sum_{\beta_1=0}^{\alpha_1}\dots \sum_{\beta_k=0}^{\alpha_k}((1+\beta_1)\dots (1+\beta_k))^3=\prod_{j=1}^k\sum_{\beta_j=0}^{\alpha_j}(1+\beta_j)^3=\prod_{j=1}^k\left(1^2+2^3+\dots+(1+\alpha_j)^3\right).$$
Правая часть:
$$\left(\sum a_i\right)^2=\left(\sum_{\beta_1=0}^{\alpha_1}\dots \sum_{\beta_k=0}^{\alpha_k}(1+\beta_1)\dots (1+\beta_k)\right)^2=\left(\prod_{j=1}^k\sum_{\beta_j=0}^{\alpha_j}(1+\beta_j)\right)^2=\prod_{j=1}^k\left(1+2+\dots +(1+\alpha_j)\right)^2.$$
Остается сослаться на знаменитое тождество $1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов хитрого набора чисел равна квадрату его суммы
Сообщение09.01.2018, 19:33 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5382
Проще объяснить из свойства мультипликативных функций, коими являются количество делителей $\tau(n)$ и его куб:
$$\sum_{d\mid n} \tau(d) = \prod_{\text{prime}\ p\mid n} \sum_{k=0}^{\nu_p(n)} \tau(p^k)$$
$$\sum_{d\mid n} \tau(d)^3 = \prod_{\text{prime}\ p\mid n} \sum_{k=0}^{\nu_p(n)} \tau(p^k)^3$$
Остается только вспомнить, что $\tau(p^k)=k+1$, и "знаменитое тождество".

-- Tue Jan 09, 2018 12:18:35 --

Интересно, сколько существует различных мультимножеств $\{ \tau(d)\ :\ d\mid n\}$ размера $m$ (т.е. при $\tau(n)=m$) для заданного $m$ ?

В виду исходной задачи, A158649(m) даёт верхнюю оценку. Более того, так как $\{ \tau(d)\ :\ d\mid n\}$ зависит только от показателей простых в разложении $n$, но не от самих простых, то верхнюю оценку даёт также A001055(m).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group