Решение уравнений эл. магн. поля в ОТО

[misha.physics]

Здравствуйте.
В общем, уравнения для грав. и эл. магн. полей получил. Действие проварьировал. Научился.

Теперь для эл. магн. поля получил такое уравнение (для 0-компоненты):
$\frac{\partial}{\partial r}[\sqrt{-g}(g^{00}g^{11}-g^{01}g^{10})^s(\frac{\partial h(r)}{\partial r})^{2s-1}]=0$, где
$h(r)=A_0$.
Метрика здесь появилась в результате опускания индексов у $F^{\mu\nu}$.

Теперь вопрос: сложно ли решить это уравнение? Шутка, но не совсем (может оно у меня и не правильно получилось). А вот чтобы найти функцию $h(r)$ (решить это диф. уравнение), нужно иметь решения для метрики? Просто в статье сначала решается это уравнение, а потом уже уравнения грав. поля.

P. S. Не знаю, может надо было поместить тему в математический раздел.

[svv]

misha.physics в сообщении #1281449 писал(а):

Просто в статье сначала решается это уравнение

Решается относительно $h(r)$ уравнение с неизвестными компонентами метрического тензора?..

Ещё вопрос: несмотря на буковку $r$ (имеющую, вероятно, смысл радиальной сферической координаты), не покидает ощущение, что у Вас $(1+1)$-мерное пространство-время. Это так?

[misha.physics]

svv,

Цитата:

Решается относительно $h(r)$ уравнение с неизвестными компонентами метрического тензора?

Берут и записывают функцию $h(r)$. Например, для $s=1$ получается логарифм. А потом рассматривают уравнения грав. поля и находят метрику. Может они это одновременно делают (решают), но не говорят...
Или может в уравнения эл. магн. поля не должна входить метрика? А может это я что-то неправильно посчитал. Общее выражение для эл. магн. поля таково (может по самому виду удастся внести ясность):
$\partial_\mu(\sqrt{-g}F^{\mu\nu}(kF)^{s-1})=0$
И далее, рассматривают радиальное поле:
$A_{\mu}=h(r)\delta^0_\mu$
Ну я и решил, что $\delta^0_\mu$ это символ Кронекера. И потом оставил в уравнении только члены вида $\partial_1A_0$, а это $\frac{\partial h(r)}{\partial r}$.

Цитата:

не покидает ощущение, что у Вас $(1+1)$-мерное пространство-время. Это так?

Точнее $(2+1)$ - мерное. $(t, r, \varphi)$ .

[svv]

Метрика в уравнения входить должна, без неё Вы не свяжете $F^{\mu\nu}$ и $F_{\mu\nu}$.

misha.physics в сообщении #1281493 писал(а):

Ну я и решил, что $\delta^0_\mu$ это символ Кронекера. И потом оставил в уравнении только члены вида $\partial_1A_0$, а это $\frac{\partial h(r)}{\partial r}$.

Это правильно.

Какие компоненты метрического тензора у Вас равны нулю (например, в силу симметрии относительно поворота или сдвига во времени)? Вообще, какие есть в задаче симметрии?

[misha.physics]

svv, давайте я тогда метрику напишу (лучше поздно чем никогда :)):
$ds^2=-g(r)dt^2+\frac{dr^2}{g(r)}+r^2d\varphi^2$

[Erleker]

Не могли бы вы привести ссылку на статью?

[misha.physics]

Erleker, пожалуйста:
https://arxiv.org/abs/1408.5570v2

[Erleker]

С учетом ниженаписанного svv, решение для метрики знать не надо.

[svv]

(Статью ещё не смотрел)

misha.physics в сообщении #1281507 писал(а):

$ds^2=-g(r)dt^2+\frac{dr^2}{g(r)}+r^2d\varphi^2$

Раз так, уравнение можно значительно упростить.
$\begin{array}{l}g_{00}g_{11}=-1\\\sqrt{-g}=\sqrt{-g_{00}g_{11}g_{22}}=r\end{array}$
Так как метрический тензор имеет диагональный вид,
$g^{00}g^{11}=\frac{1}{g_{00}}\frac{1}{g_{11}}=-1$
Ненулевые ковариантные компоненты $F$:
$F_{10}=-F_{01}=\partial_1 A_0$
Ненулевые контравариантные компоненты $F$:
$F^{10}=-F^{01}=g^{11}g^{00}F_{10}=-\partial_1 A_0$

[misha.physics]

svv, спасибо большое! Только что все проверил, что вы написали. Все получилось, все понял! Не знаю, как я раньше не обратил внимание на вид интервала. Может потому, что первый раз решаю задачу такого рода и ещё не знаю, на что нужно обращать внимание

-- 05 янв 2018, 21:19 --

Да я даже когда писал уравнение:
$\frac{\partial}{\partial r}[\sqrt{-g}(g^{00}g^{11}-g^{01}g^{10})^s(\frac{\partial h(r)}{\partial r})^{2s-1}]=0$,
забыл, что $g_{01}\equiv 0$.

(Оффтоп)

Кстати, когда я только начинал изучать ОТО, то задавался вопросом, зачем мы записываем $ds^2$. Казалось, что мы как бы угадываем что-то. Я думал, что у нас есть уравнения грав. поля на метрику, и мы их должны решить относительно последней (так как решаются обычные квадратные уравнения ). А потом уже записать интервал. Я тогда не понимал, что мы будем подставлять общие выражения для метрики в уравнения грав. поля. Я думал что будем находить метрику в "лоб" т.е. "как бы прямо". Потом понял, что записав вначале интервал, мы по крайней мере делаем выбор координат, в которых описываем наше пространство-время. Кстати подобных пояснений я в книгах пока не встречал. Наверное не дочитал ещё...

[misha.physics]

Для $s=1$ логарифм получил.

[svv]

misha.physics в сообщении #1281548 писал(а):

Я думал, что у нас есть уравнения грав. поля на метрику, и мы их должны решить относительно последней (так как решаются обычные квадратные уравнения ). А потом уже записать интервал. Я тогда не понимал, что мы будем подставлять общие выражения для метрики в уравнения грав. поля. Я думал что будем находить метрику в "лоб" т.е. "как бы прямо".

Мне кажется, что Вы думали правильно (если «квадратные уравнения» заменить на «совместную систему ДУЧП для гравитационного и электромагнитного поля»). А статья, наоборот, может создать у Вас неправильное представление о том, что сначала из воздуха берётся метрика (как её берут уважаемые авторы—иранцы), а с её помощью находится всё остальное.

Представьте, что я хочу исследовать какую-то задачу с постоянным центрально-симметричным гравитационным полем и ненулевым электромагнитным полем (примерно как у Вас). Считаю $\Lambda=0$. Беру метрику Шварцшильда — потому что она мне нравится. Вывожу всё, что надо... и обнаруживаю, что тензор Эйнштейна, при данной метрике, получается нулевым. А тензор энергии-импульса ЭМ поля ненулевой. Приехали.

Выходит, требование конкретного вида метрики может быть несовместимо с другими условиями задачи. И только если в каких-то предыдущих исследованиях было показано, что в данной задаче метрика действительно имеет такой вид, Вы можете на это опираться. Конкретно иранцы опираются на статью Charged rotating black hole in three spacetime dimensions авторов Martinez, Teitelboim, Zanelli.

[misha.physics]

svv, я, наверное, имел ввиду подход с записью интервала в более общем смысле. Что мы так задаем координаты и какие-то "самые очевидные" симметрии и т.д. Кстати, решение Шварцшильда тоже получается (там где я его видел) из записи интервала в общем, "симметричном" виде, ну там функции $a(r)$, $b(r)$,... Т. е. $ds^2=a(r)c^2dt^2-b(r)cdt\boldsymbol{r}d\boldsymbol{r}+...$.
Т. е. я имел ввиду сам факт, что сначала мы записываем интервал в какой-то форме, а раньше я не понимал для чего. Или можно этого вообще не делать (записывать интервал вначале)?
В статье вид $ds^2$ действительно более специальный, а вот если бы мы его не написали, то мы бы могли сразу решать уравнения грав. поля? Или нам нужно было бы написать скажем: $ds^2=-g(r)dt^2+h(r)dr^2+\xi(r)d\varphi^2$? Или можно было бы даже не предполагать диагональную метрику? Т.е. принципиально ли нужно записывать "хоть какой-то" интервал вначале (хотя бы для выбора координат), чтобы потом взять из него $g_{00}$, $g_{01}$ и т.д. и подставить в уравнения грав. поля и таким образом решать их?

Простите, что так много спрашиваю, просто, думаю, это действительно важно понимать.

P. S. А вы можете что-то сказать о первом впечатлении о тематике и содержании статьи? Я не очень знаю о положении науки в разных странах.

[svv]

misha.physics в сообщении #1281605 писал(а):

В статье вид $ds^2$ действительно более специальный, а вот если бы мы его не написали, то мы бы могли сразу решать уравнения грав. поля?

Нет, не могли бы — это всё равно, что решать уравнения Эйнштейна (совместно с уравнениями Максвелла) в общем виде.

Совокупность условий задачи позволяет наложить ограничения на вид искомых неизвестных функций (без чего будет просто полная неопределённость), и благодаря этому иногда найти их в явном виде. В частности, иногда, исходя из условий и других соображений, можно заранее, не решая уравнений, считать некоторые компоненты метрического тензора равными нулю; а ненулевые считать зависящими лишь от некоторых координат, а не от всех, и притом специальным образом. Например, по условиям задачи поле может не зависеть от $t$ и иметь сферическую симметрию. Это позволяет конкретизировать вид метрического тензора, а если повезёт, то и найти его явно. Но любая конкретизация вида, в котором ищется тензор, (по сравнению с общим случаем) должна быть как-то обоснована.

В самом симметричном случае можно неудачно выбрать координаты. Например, в Вашей задаче при желании можно перейти к таким координатам, в которых $g_{t\varphi}\neq 0$. Это создаст неравноценность направлений «на запад» и «на восток» — чисто координатную, так как в самих условиях эти направления равноценны. Решать задачу станет тяжелее — и только.

misha.physics в сообщении #1281605 писал(а):

А вы можете что-то сказать о первом впечатлении о тематике и содержании статьи? Я не очень знаю о положении науки в разных странах.

Тут лучше попросить ответить Erleker.

[misha.physics]

svv,

Цитата:

Нет, не могли бы — это всё равно, что решать уравнения Эйнштейна (совместно с уравнениями Максвелла) в общем виде.

Т. е. это в принципе невозможно, решить эти уравнения в общем виде?
Например, мы выбрали в пространстве-времени координаты $x^0$, $x^1$, $x^2$, $x^3$. Потом задали тензор энергии импульса, который уже учытывает симметрии нашей задачи. Например $T_{ik}=diag(\varepsilon, P, P, P)$. Но интервал мы не пишем вообще. Никаких предположений о виде метрики не делаем. Мы тогда не получим решение-метрику? Т. е. чисто формально меня интересует нужно ли задавать интервал для решения уравнения поля, а не "технически".