Обобщение теоремы Вейерштрасса-Дедекинда

[ingrem]

Возможно, тема, затронутая в этом топике, кому-то покажется интересной (или близкой по роду научной деятельности).

ЧТО СДЕЛАНО.
Существует теорема Вейерштрасса-Дедекинда (Дрозд, Кириченко, "Конечномерные алгебры"), которая утверждает, что любая конечномерная коммутативная [благодарю Ситнуса за поправку (см. следующий пост)] полупростая ассоциативная аглебра есть прямой суммой полей. Применительно к действительным алгебрам гиперкомплексных чисел это означает, что любая коммутативная полупростая алгебра гиперкомплексных чисел распадается в прямое произведение алгебр комплексных и действительных чисел.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Передо мной стоит задача обобщения этой теоремы на некоммутатвный случай. Я пробовал отмести коммутативность,заменив поля телами. Увы, оказалось, что не всякая полупростая алгебра гиперкомплекснх чисел над R есть прямой суммой R, C и H (кватернионов).

Кто-нибудь знает что-то о других попытках обобщить эту теорему на некоммутативный случай? (возможно, с ослаблением некоторых других условий).

[Свинтус]

Цитата:

Существует теорема Вейерштрасса-Дедекинда (Дрозд, Кириченко, "Конечномерные алгебры"), которая утверждает, что любая конечномерная полупростая ассоциативная аглебра есть прямой суммой полей

Это неверно. Точнее, верно если дополнительно предположить коммутативность и наличие единицы.
Вообще же верно, что она является прямой суммой полных матричных алгебр над телами.
Это называется обычно теоремой Веддерберна-Артина и доказательство есть, например, в книге Пирса "Ассоциативные алгебры" п. 3.5

[ingrem]

Свинтус писал(а):

Вообще же верно, что она является прямой суммой полных матричных алгебр над телами.
Это называется обычно теоремой Веддерберна-Артина и доказательство есть, например, в книге Пирса "Ассоциативные алгебры" п. 3.5

...а также в книгах:
Херстейн, "Некоммутативные кольца",
Шилов, "Математический анализ (конечномерн. вект. простр.)",
тот же Дрозд, Кириченко...

Благодарю за поправку . Просто мне необходимо как-то описать с точностью до изоморфизма все полупростые алгебры над R в малых размерностях (в 3 и 4). С коммутативными мне более менне ясно:

n=3
1. Прямая сумма R+R+R (трёхмерная Финслерова алгебра);
2. Прямая сумма R+C

n=4
1.Прямая сумма R+R+R+R (тот же Финслероид);
2. R+R+C
3. C+C

А вот что делать с некоммутативными? Ну, понятно, что например для n=4 сюда входит алгебра кватернионов (проста как тело, а значит и полупроста), и алгебра 2х2 действительных матриц (проста по той же теореме Вед.-Арт.). А ещё что?

Вы не могли бы порекомендовать мне источники (статьи, книги) в которых описывались бы все полупростые (или простые, тогда полупростые получились бы прямым произведением) алгебры над R? Что вообще сделано в этом направлении?

Спасибо всем, кто ответит.[/b]

[Свинтус]

А в чем проблема? Хорошо известно, что над R существуют только три конечномерных тела. R, C и H.
Соответственно, из теоремы Веддерберна-Артина и соображений размерности получаем все алгебры.
В размерности 3 это
R+R+R
К+С
В размерности 4 это
R+R+R+R
R+R+C
Mat_{2x2}(R)
H

Если мы предполагаем, что алгебры имеют единицу то так.
Над случаем, когда единицы нет, я не думал никогда. но он кажется, рассматривается у Бурбаки.

[ingrem]

Свинтус писал(а):

А в чем проблема? Хорошо известно, что над R существуют только три конечномерных тела. R, C и H.

Теорема Фробениуса.

Свинтус писал(а):

...в размерности 3 это
R+R+R
К+С

Очевидно, К - это R в русской раскадке клавиатуры?

Свинтус, Ваше утверждение равносильно следующему: конечномерные простые алгебры резмерности n<5 над R изоморфны либо телам (коих есть по теореме Фробениуса 3), либо алгебре действительных 2х2 матриц. Других вариантов нет. Я правильно понял? Если да - то где можно посмотреть доказательство этого утверждения?

Я почему справшиваю. Вот кватернионы, например, изоморфны простой подалгебры 16-мерной действительной простой алгебры 4x4 матриц. Меня смущает то, что кроме кватернионов в этой самой алгебре могут найтись и другие простые подалгебры. Или не могут?

[ingrem]

...да, Свинтус, и ещё в своём перечне Вы упустили C+C

Спасибо за Ваши ответы в этой теме. Вы мне очень помогаете

[Свинтус]

Вы можете сформулировать теорему Веддерберна-Артина?
Она говорит, что полупростая алгебра есть прямая сумма матричных алгебр над телами, причем этот набор (тела и размерности алгебр) определяется алгеброй с точностью до изоморфизма.

Есть теорема Фробениуса-- о классификации тел над R.
Их всего 3-- R,C,H.

Теперь смотрим на размерности. Т.е. при размерности 4-- из теоремы В-А простые алгебры это алгебры матриц над телами, а их размерность есть квадрат размера матрицы умноженный на размерность тела.

Соотвестсвенно, необходимо рассмотреть все представления чила 4
в виде a^2*b, где b-- размерность некоторого тела над R. И перебираем. Получаем 2 представления 4=1^2*4-- получаем Mat_{1х1}(H) и 4=2^2*1-- Mat_{2х2}(R).

[ingrem]

2 Свинтус

Да, извините, действительно не подумал - понял, что сморозил глупость, когда уже послал ответ. Спасибо за ответы

Тема закрыта.

[alg]

Было написано : Над случаем, когда единицы нет, я не думал никогда. но он кажется, рассматривается у Бурбаки -
Напомню, что артиново полупростое кольцо(без ненулевых нильпотентных идеалов) всегда содержит единицу - например, Джекобсон
Удачи!