Оценка частичной суммы обобщенного гармонического ряда

[kolfy]

В задании сказано, что требуется оценить $\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{p^k}}$ сверху и снизу величинами одного порядка, где $p \in (0,1)$, и при этом указано, что желательно использовать следующее утверждение: для всякого конечного числового множества $\{a_k\}_{k=1}^{n}$ выполняется $min_{k \in [1,n]}\{a_k\} \cdot n \leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k} \leqslant max_{k \in [1,n]}\{a_k\} \cdot n$.

$x_k = \frac{1}{k^p}$ строго убывает, а значит, принимает свои наибольшее и наименьшее значения в точках $k=1$ и $k=n$, что позволяет оценить сумму следующим образом: $n^{1-p} \leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{p^k}} \leqslant n$, однако оценки получились разного порядка.

Я пробовал оценить суммы при $k\in [1, \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor]$ и при $k \in [\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor+1 , n]$, а затем сложить получившиеся два двойных неравенства, однако справа все равно остается $\frac{n}{2}$, так что оценки сверху и снизу все равно остаются разного порядка.

Подскажите, пожалуйста, как решить это задание?

[ex-math]

Оцените интегралом.

[DeBill]

kolfy
Если интегралов еще не было:

kolfy в сообщении #1281307 писал(а):

Я пробовал оценить суммы

Нормальный ход. Но надо его повторить многократно:
вторая сумма - хороша, а первую снова разбейте на две.
Из полученных: вторая хороша, а первую - снова разбейте на две.
И т.д.
Для случая когда $n$ - степень двойки, полученные две кучи сумм будут геом прогрессиями, и сосчитаются....

[kolfy]

DeBill

Разобрался, спасибо большое.