2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка частичной суммы обобщенного гармонического ряда
Сообщение04.01.2018, 21:38 


04/01/18
2
В задании сказано, что требуется оценить $\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{p^k}}$ сверху и снизу величинами одного порядка, где $p \in (0,1)$, и при этом указано, что желательно использовать следующее утверждение: для всякого конечного числового множества $\{a_k\}_{k=1}^{n}$ выполняется $min_{k \in [1,n]}\{a_k\} \cdot n \leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k} \leqslant max_{k \in [1,n]}\{a_k\} \cdot n$.

$x_k = \frac{1}{k^p}$ строго убывает, а значит, принимает свои наибольшее и наименьшее значения в точках $k=1$ и $k=n$, что позволяет оценить сумму следующим образом: $n^{1-p} \leqslant  \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{p^k}} \leqslant n$, однако оценки получились разного порядка.

Я пробовал оценить суммы при $k\in [1, \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor]$ и при $k \in [\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor+1 , n]$, а затем сложить получившиеся два двойных неравенства, однако справа все равно остается $\frac{n}{2}$, так что оценки сверху и снизу все равно остаются разного порядка.

Подскажите, пожалуйста, как решить это задание?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка частичной суммы обобщенного гармонического ряда
Сообщение04.01.2018, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Оцените интегралом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка частичной суммы обобщенного гармонического ряда
Сообщение04.01.2018, 21:52 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
kolfy
Если интегралов еще не было:
kolfy в сообщении #1281307 писал(а):
Я пробовал оценить суммы

Нормальный ход. Но надо его повторить многократно:
вторая сумма - хороша, а первую снова разбейте на две.
Из полученных: вторая хороша, а первую - снова разбейте на две.
И т.д.
Для случая когда $n$ - степень двойки, полученные две кучи сумм будут геом прогрессиями, и сосчитаются....

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка частичной суммы обобщенного гармонического ряда
Сообщение04.01.2018, 22:10 


04/01/18
2
DeBill

Разобрался, спасибо большое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group