Количество корней в круге

[StaticZero]

Нужно доказать, что в круге $|z|\leqslant 2$ уравнение

$$1 + z + az^n = 0, \quad a \in \mathbb C, \quad n \geqslant 2$$

имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим круг $\bar K_\varepsilon: |z| \leqslant 2 + \varepsilon$, $\varepsilon > 0$. На его границе $|az^n| = |a| (2 + \varepsilon)^n$ и $1 + \varepsilon \leqslant |1 + z| \leqslant 3 + \varepsilon$. Теорему Руше можно применить, если $|a|(2 + \varepsilon)^n > 3 + \varepsilon$, тогда число нулей исходного уравнения в $\operatorname{Int} \bar K_\varepsilon$ равно числу нулей функции $az^n$ там же, которых $n$ штук. Устремляем $\varepsilon \to 0+$ и получаем оценку $|a| > \dfrac{3}{2^n}$. Ещё теорема Руше работает, если $|a|(2 + \varepsilon)^n < 1 + \varepsilon$, или $|a| < \dfrac{1+\varepsilon}{(2 + \varepsilon)^n}$. Тогда количество нулей исходного уравнения в $\operatorname{Int} \bar K_\varepsilon$ равна количеству нулей функции $1 + z$ там же, которых ровно один. Устремляя $\varepsilon \to 0+$, получаем $|a| < \dfrac{1}{2^n}$.

Что делать с кольцом $\dfrac{1}{2^n} \leqslant |a| \leqslant \dfrac{3}{2^n}$, я пока не увидел.

[metelev]

Я бы попробовал теорему Виета применить.

[StaticZero]

А как она поможет? В неё же не зашить ограничение $|z| \leqslant 2$.

[Someone]

А Вы эту теорему знаете? Сформулируйте.

[metelev]

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей множителей.

[ex-math]

Можно применить теорему Руше к меньшему кругу. Если там есть корень, то он будет и в интересующем нас круге тоже.

[StaticZero]

Someone в сообщении #1280741 писал(а):

А Вы эту теорему знаете? Сформулируйте.

Дан многочлен $\sum \limits_{k=0}^n a_k z^k = 0$. Для его корней $z_1, \ldots, z_n$ верны соотношения

$$ (-1)^{n+s} \dfrac{a_s}{a_n} = \sum \limits_{\mathsf C_{n - s}(1, \ldots, n)} \prod \limits_{k \in \mathsf C_{n-s}} z_k, \qquad s = 0, \ldots, n-1, $$

где $\mathsf C_{n-s}(1, \ldots, n)$ — выборки длины $n-s$ из множества $(1, \ldots, n)$ без повторений.

-- 02.01.2018, 20:36 --

Для данного многочлена получаем:

$$ z_1 z_2 \ldots z_n = \dfrac{(-1)^n}{a}, $$

$$ z_1 + \ldots + z_n = 0 $$

и всякие промежуточные соотношения.

[Someone]

Страх и ужас.

Как-нибудь более наглядно эти равенства написать можете? Без знаков суммирования и с использованием конкретных значений коэффициентов.

[StaticZero]

$$ z_1 z_2 \ldots z_n = \dfrac{(-1)^n a_0}{a_n} = \dfrac{(-1)^n}{a} $$

$$ z_1 z_2 \ldots z_{n-1} + z_1 \ldots z_{n-2} z_n + \ldots + z_2 z_3 \ldots z_n = \dfrac{(-1)^{n-1} a_1}{a_n} = \dfrac{(-1)^{n-1}}{a} $$

...

$$ z_1 z_2 + z_1 z_3 + \ldots + z_{n-1} z_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_n} = 0 $$

$$ z_1 + z_2 + \ldots + z_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} = 0 $$

[Someone]

Конкретные значения коэффициентов подставьте. Из общей-то формулировки мало что можно извлечь.

Частичное решение будет сразу видно, а насчёт остатка — не знаю, что имел в виду metelev — пока не догадываюсь. Возможно, теорема Руше поможет.

[StaticZero]

Someone, ну подставить я подставил, а частичное решение не увидел...

[metelev]

Я невнимателен был, извините. Не обратил внимание что на $a$ надо поделить. Думал про те же равенства, которые выписаны уже.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1280727 писал(а):

Что делать с кольцом $\dfrac{1}{2^n} \leqslant |a| \leqslant \dfrac{3}{2^n}$, я пока не увидел.

Если $|a|\ge \frac{1}{2^n}$, то как раз из теоремы Виета получается, что не могут быть сразу все корни по модулю больше двух (потому что их произведение $\le 2^n$), если я в знаках неравенства не ошибся.

[StaticZero]

Ах, вот в чём дело.

-- 02.01.2018, 21:39 --

g______d, спасибо большое.

[g______d]

Или это и было частичное решение? Тогда сорри за спойлер :(