2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение31.12.2017, 18:14 
Заслуженный участник


17/09/10
1817
Докажите, что:
1. Для любого натурального $N$ найдутся не подобные треугольники с целыми длинами сторон, в которых длина одной из медиан больше в $N$ раз длины стороны, к которой она проведена.
2. Для $N=1$ (т.е. длина медианы равна длине стороны) найдите треугольник с наименьшей длиной медианы.
3. Площади всех таких треугольников при $N=1$ иррациональны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение31.12.2017, 19:16 


26/08/11
1794
Где целые, там и рациональные.
1. Сторона равна двум, медиана к ней - $2n$, другие стороны - $x,y$

По теореме косинусов $\cos(\alpha)=\dfrac{1+4n^2-x^2}{4n}=\dfrac{y^2-1-4n^2}{4n}$

Получается уравнение $x^2+y^2=2+8n^2$ у которого есть решение $(2n+1,2n-1)$, а значит и полная параметризация:

$x =\dfrac{2 k^2 n + k^2 + 4 k n - 2 k - 2 n - 1}{k^2 + 1}$

$y = \dfrac{2 k^2 n - k^2 - 4 k n - 2 k - 2 n + 1}{k^2 + 1}$

(правда, правило треугольника должно соблюдатся).

Другие подусловия - в следующем году.
С Новым Годом!

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение31.12.2017, 19:28 
Заслуженный участник


17/09/10
1817
Начало - отличное.
Можно надеяться, что и год начнётся так же успешно.
Здоровья и счастья Вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение02.01.2018, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11799
Казань
Вторая задача. Как известно, длины сторон связаны с медианой соотношением $b^2+c^2=2m^2+a^2/2$, что при $m=a$ сводится к $b^2+c^2=2,5a^2$. Значит, $a=2k, b^2+c^2=10k^2$. Если $b$ и $c$ имеют общий множитель, то он же есть у $k$ (10 -- свободно от квадратов), так что на него можно сократить. Значит, квадраты $b^2$ и $c^2$ заканчиваются на 1 и 9.
Дальше, в принципе, можно уже провести перебор, с учетом неравенства треугольника. Наименьшее значение $k$ получается равным $5$, соответственно, $m = a=10$. Впрочем, можно заметить ещё, что $k$ нечетно и не делится на 3.

-- 02.01.2018, 16:37 --

Собственно, если нам нужно только минимальное $k$, можно поступить проще:
$b^2+c^2=10k^2$
если сумма квадратов $b,c$ делится на 3, то и сами $b,c$ делятся на 3, все длины можно сократить на 3.
если сумма квадратов $b,c$ делится на 4, то сами $b,c$ делятся на 2, все длины можно сократить на 2.

Значит, достаточно рассмотреть нечетные $k$, не делящиеся на 3.
$k=1$, тогда $b^2+c^2=10$, подходит только пара $(1,3)$, для которой $a=2k=2$, не выполняется неравенство треугольника.

$k=5$, тогда $b^2+c^2=250$, пара $(5,15)$, пропорциональна предыдущему решению, остается только $(9,13)$ для которой $a=2k=10$, треугольник со сторонами $9,10,13$ существует.

Только как-то подозрительно просто для задачи самого scwec!

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение02.01.2018, 17:23 


21/05/16
2452
Аделаида
Shadow в сообщении #1280430 писал(а):
а значит и полная параметризация

А почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение02.01.2018, 18:09 


26/08/11
1794
kotenok gav в сообщении #1280716 писал(а):
А почему?
Для кривых второго порядка, если есть рациональная точка, то из нее (например по методу секущих) можно получить полное (без одной точки) однопараметрическое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение02.01.2018, 19:22 


21/05/16
2452
Аделаида
Shadow в сообщении #1280718 писал(а):
например по методу секущих

По-моему, это приближенный метод для нахождения корня уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение02.01.2018, 20:52 
Заслуженный участник


17/09/10
1817
kotenok gav, как применять метод секущих для решения рассматриваемых здесь уравнений, посмотрите в доступной и небольшой по объему книжке В.В. Острик, М.А. Цфасман "Алгебраическая геометрия и теория чисел..."

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение03.01.2018, 05:25 


21/05/16
2452
Аделаида
Спасибо! Теперь понятно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение06.01.2018, 21:15 
Заслуженный участник


17/09/10
1817
provincialka в сообщении #1280698 писал(а):
Только как-то подозрительно просто
- это по п.2, но есть ещё п.3

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение07.01.2018, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11799
Казань
scwec в сообщении #1281797 писал(а):
но есть ещё п.3

вот времени пока нет... Кстати, он решается элементарными методами? или какими-нибудь сечениями и эллиптическими кривыми? Тогда я пас ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение07.01.2018, 00:41 
Заслуженный участник


17/09/10
1817
п.3 для $N=1$ есть решение и элементарное и с помощью эллиптических кривых.
А для произвольного $N$, насколько мне известно, открытая проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение19.01.2018, 15:08 
Заслуженный участник


17/09/10
1817
п.3. будет решён, если доказать, что не существует треугольника с рациональной площадью и со сторонами длиной $1,2,c$ где $c$ рациональное число. Эта задача обсуждалась на форуме и два её решения здесь привожу.
Первое решение.
nnosipov в сообщении #631414 писал(а):
Приведу полное решение. Пусть третья сторона треугольника равна $c$. Тогда косинус противолежащего угла равен $(5-c^2)/4$. Поскольку синус этого угла рационален, приходим к тому, что число
$$
-9+10c^2-c^4
$$
является квадратом рационального числа. Имеем уравнение $-9x^4+10x^2y^2-y^4=z^2$ или
$$
(y-x)(y+x)(3x-y)(3x+y)=z^2,
$$
где натуральные числа $x$, $y$ можно считать взаимно простыми, при этом $x<y<3x$.

1. Предположим сначала, что $y \not\equiv 0 \pmod{3}$. Если $x \not\equiv y \pmod{2}$, то числа $y \pm x$, $3x \pm y$ попарно взаимно просты. Значит,
$$
y-x=a^2, \quad y+x=b^2, \quad 3x-y=c^2, \quad 3x+y=d^2
$$
для некоторых натуральных чисел $a$, $b$, $c$, $d$. Отсюда $x=(b^2-a^2)/2$, $y=(a^2+b^2)/2$ и
$$
b^2-2a^2=c^2, \quad 2b^2-a^2=d^2.
$$
Но последняя система по модулю $3$ имеет только нулевое решение. При $x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}$ числа $(y \pm x)/2$, $(3x \pm y)/2$ попарно взаимно просты. Значит,
$$
y-x=2a^2, \quad y+x=2b^2, \quad 3x-y=2c^2, \quad 3x+y=2d^2
$$
для некоторых натуральных чисел $a$, $b$, $c$, $d$. Отсюда $x=b^2-a^2$, $y=a^2+b^2$ и снова
$$
b^2-2a^2=c^2, \quad 2b^2-a^2=d^2.
$$

2. Если $y \equiv 0 \pmod{3}$, то $x \not\equiv 0 \pmod{3}$. Положив $y=3y_1$, получим
$$
-9y_1^4+10y_1^2-x^4=z_1^2
$$
и далее рассуждаем как в п. 1.


Второе решение
scwec в сообщении #631643 писал(а):
Решение можно построить и следующим образом: косинус угла между сторонами $1,2$ равен или $\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$ или $\frac{2ab}{a^2+b^2}$,
где, как обычно, $a,b$ - натуральные числа разной четности и взаимно простые.
Тогда в первом случае $c^2=\frac{a^2+9b^2}{a^2+b^2}$. Поскольку числитель и знаменатель взаимно просты, то они - квадраты.
Получили задачу Лича, которая при $k=3$ решений не имеет.
Во втором случае $c^2=\frac{5a^2+5b^2-8ab}{a^2+b^2}$. Числитель и знаменатель также взаимно просты и, следовательно, квадраты.
Из того,что знаменатель квадрат, следует, что одно из чисел $a,b$ делится на $3$, а другое нет. Но тогда числитель $\equiv{2}\mod{3}$ и не является квадратом. Итак, такого треугольника не существует.
При таком подходе, переходя к случаю $n,n+1$, есть надежда использовать теорию проблемы Лича и полученные уже там результаты.
.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение20.01.2018, 02:28 


21/05/16
2452
Аделаида
scwec в сообщении #1285698 писал(а):
п.3. будет решён, если доказать, что не существует треугольника с рациональной площадью и со сторонами длиной $1,2,c$ где $c$ рациональное число.

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники с целыми длинами сторон и их медианы
Сообщение20.01.2018, 12:57 
Заслуженный участник


17/09/10
1817
Потому, что:
медиана делит исходный треугольник на два других одинаковой площади, и длины двух сторон (медина и половина стороны, к которой она проведена) в каждом из них в нашем случае ($N=1$) относятся как $2:1$. Поделив длины всех сторон на рациональную длину половины медианы получим треугольники со сторонами $1,2,c$, где $c$ рационально.
Площади их рациональны/иррациональны вместе с площадью исходного треугольника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group