Комбинаторное тождество

[Singular]

Может быть, найдёте что-то интересное для себя тут http://www.genfunc.ru/theory/pril02/

[Shizofrenik]

Решал одну задачу по комбинаторике, и в процессе выскочило вспомогательное утверждение, которое никак не могу доказать, не используя бесконечные ряды, производящие функции и т.д.
Утверждение такое: для любого натурального $n$

$$\sum_{k=0}^n C_{-1/2}^k C_{-1/2}^{n-k} = (-1)^n.$$

Если бы для $C_n^k$ с действительным $n$ верна была бы верна свёртка Вандермонда, то, понятно, искомое бы мгновенно из неё следовало.
Поэтому я прошу либо помощи в доказательстве обобщённой на действительные $n$ свёртки Вандермонда, либо моего утверждения.
Помогите, пожалуйста!
Заранее спасибо.


Комментарий про свёртку Вандермонда.
Известно, что для натуральных $m, n$, если $s \leq m$ и $s \leq n$, то:

$$ C_m^0 C_n^s + C_m^1C_n^{s -1} + C_m^2 C_n^{s-2} + \ldots + C_m^s C_n^0 = C_{n+m}^s.$$

Это - свёртка Вандермонда. если её доказать для действительных $n$ и $m$ (а в нашем случае достаточно для $n = m = -\frac{1}{2}$), то всё будет из неё автоматически следовать, т.к. $C_{-1/2 + (-1/2)}^n = C_{-1}^n = (-1)^n$.

[Lia]

Shizofrenik
Вы последний пост читали? Вы прочитайте. Перемножьте два ряда. Посмотрите на коэффициенты произведения.

А дублировать, да еще в другую тему - это лишнее.

-- 30.12.2017, 05:30 --

Темы объединены еще раз. Нет, само это не делается.

-- 30.12.2017, 05:35 --

Shizofrenik в сообщении #1280026 писал(а):

не используя бесконечные ряды, производящие функции и т.д.

Не используя - а оно точно надо?

[Shizofrenik]

Lia в сообщении #1280027 писал(а):

Shizofrenik
Вы последний пост читали?

А последний пост - это?

[Lia]

Это тоже сойдет.

[Shizofrenik]

Lia в сообщении #1280027 писал(а):

Shizofrenik
Вы последний пост читали? Вы прочитайте. Перемножьте два ряда. Посмотрите на коэффициенты произведения.

А какие конкретно ряды имеются ввиду?

[Lia]

Производящие функции для последовательностей Ваших биномиальных к-тов. Вы ж их сосчитали уже, да и по ссылке они есть.

[Shizofrenik]

Lia в сообщении #1280032 писал(а):

Производящие функции для последовательностей Ваших биномиальных к-тов.

Так если мы будем ими пользоваться, то нам не обойтись без бесконечных рядов. А необходимо посчитать, не используя самого понятия "производящая функция".

[Lia]

Ну не используйте понятие. Используйте только ряды )
Это задание так сформулировано или это добровольное самоограничение, интересно?

[RIP]

Можно ещё посмотреть на свёртку Вандермонда как на равенство двух многочленов. Если оно справедливо для произвольных натуральных параметров, то и для вещественных тоже будет выполняться.

[thething]

Самый элементарный путь - используйте подсказку arseniiv, биномиальный ряд обратного квадратного корня, который я давал выше и геометрическую прогрессию

P.S. Боюсь, что и ваша свертка для нецелых индексов только так и докажется

[Shizofrenik]

RIP в сообщении #1280037 писал(а):

Можно ещё посмотреть на свёртку Вандермонда как на равенство двух многочленов.

А как на неё так посмотреть для дробной степени?

[arseniiv]

Кстати, всё упомянутое про производящие последовательности (и мой пост — конечно же, там тоже они, просто по имени не названы) тоже имеет дело со свёрткой двух последовательностей (произведение п. ф. — п. ф. свёртки), а именно свёрткой $C_{-1/2}^n$ с собой, дающей $\operatorname{const}1$.