Коммутируют ли матрицы

[an2ancan]

Здравствуйте, посмотрите пожалуйста решение, уж больно быстро и просто решилась задача, прям есть подозрение, что что-то не так.

Пусть $X$ и $Y$ - квадратные матрицы одинакового размера, причем $XY=\lambda X+\mu Y$ для некоторых $\lambda, \mu \ne 0$. Докажите, что матрицы $X$ и $Y$ коммутируют.

запишем выражение $XY=\lambda X+\mu Y$ в следующем виде:

$$\begin{pmatrix} X & 0\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y\\ 0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda & \mu \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X\\ Y\\ \end{pmatrix} $$

Теперь транспонируем левую и правую часть выражения:

$$\begin{pmatrix} Y & 0\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X\\ 0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X & Y \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda\\ \mu\\ \end{pmatrix} $$

Выходит, что

$\begin{center} YX = \lambda X + \mu Y = XY \end{center} $

[g______d]

an2ancan в сообщении #1279690 писал(а):

Теперь транспонируем левую и правую часть выражения:

Вы забыли сами $X$ и $Y$ транспонировать.

[an2ancan]

g______d в сообщении #1279691 писал(а):

Вы забыли сами $X$ и $Y$ транспонировать.

Да, вы абсолютно правы)))

[g______d]

Подсказка: $\lambda$ либо является, либо не является собственным значением $Y$.

[svv]

Ещё подсказка: докажите, что матрицы $A=X-\mu E$ и $B=Y-\lambda E$ коммутируют.

[an2ancan]

Не уверен, этого ли от меня ждали, но

$AB = (X-\mu E)(Y - \lambda E) = XY - (\mu Y + \lambda X) + \lambda \mu E
$BA = (Y - \lambda E)(X-\mu E) = YX - (\mu Y + \lambda X) + \lambda \mu E $

$AB - BA = XY - YX \rightarrow $ если коммутируют $A$ и $B$, то коммутируют $X$ и $Y$

Так же

$AB = (X-\mu E)(Y - \lambda E) = XY - (\mu Y + \lambda X) + \lambda \mu E = \lambda \mu E

Выходит, что

$\det((X-\mu E)(Y - \lambda E)) = \det(\lambda \mu E) \rightarrow $ $\mu$ и $\lambda$ - не собственные числа, т.к

$\det((X-\mu E)(Y - \lambda E)) \ne 0$

[svv]

an2ancan в сообщении #1280258 писал(а):

если коммутируют $A$ и $B$, то коммутируют $X$ и $Y$

... и наоборот.
Верно. А вопрос о том, коммутируют ли $A$ и $B$, проще.

an2ancan в сообщении #1280258 писал(а):

$AB = \ldots = \lambda \mu E$

Верно. Забудьте сейчас про $\lambda\mu$. Если $AB=E$, то чему равно $BA$ ? И почему?

Вы за шаг до отгадки.

[an2ancan]

svv в сообщении #1280266 писал(а):

Верно. Забудьте сейчас про $\lambda\mu$. Если $AB=E$, то чему равно $BA$ ? И почему?

Спасибо.

$AB = \lambda \mu E$

Т.к. матрица B невырожденая, (т.к. $\det((X-\mu E)(Y - \lambda E)) \ne 0$) то существует и $B^{-1}$

перепишем выржание сверху:

$BABB^{-1} = \lambda \mu BEB^{-1}$
$BA = \lambda \mu E = AB \rightarrow $ $A$ и $B$ коммутируют $\rightarrow$ $X$ и $Y$ так же коммутируют

[svv]

А я рассуждал так. Из $AB=\lambda\mu E$ с учётом $\lambda\neq 0,\; \mu\neq 0$ следует
$(\frac 1{\mu}A)(\frac 1{\lambda} B)=E$
Сомножители левой части, как взаимно обратные матрицы, коммутируют. Следовательно, $A$ и $B$ тоже.

g______d, а какое решение Вы имели в виду?

[adfg]

svv,
полагаю суть решения состоит здесь в том, что исходное матричное уравнение однозначно разрешимо относительно одной из матриц, которая являясь функцией от другой, поэтому и коммутирует с ней

[svv]

Спасибо.

[g______d]

adfg в сообщении #1280433 писал(а):

полагаю суть решения состоит здесь в том, что исходное матричное уравнение однозначно разрешимо относительно одной из матриц, которая являясь функцией от другой, поэтому и коммутирует с ней

Да, именно так. Если $(Y-\lambda)^{-1}$ существует, то $X=\mu Y (Y-\lambda)^{-1}$, что очевидно коммутирует с $Y$. Если нет, то существует ненулевой вектор $v$, такой что $Yv=\lambda v$, откуда и из условия получаем $\mu\lambda v=0$, что противоречит невырожденности вектора.