Математическое ожидание числа неподвиных точек

[an2ancan]

Здравствуйте. Есть следующая задча:

Найдите математическое ожидание числа неподвижных точек подстановки на n элементах.

Нашел в сети следующее решение:

Пусть $l_i$ - индикатор того, что $i$-ая точка в подстановке неподвижна. Оно равно $1$, если точка неподвижна, и $0$, если нет. Количество неподвижных точек равно сумме индекаторов, т.е.
$N = l_1 + l_2 + ... + l_n$

Вероятность того что $i$ - ая точка неподвижна равна
$p_l_i = \frac{1}{n}$

Тогда мат ожидание неподвижных точек равно:
$E_N = E_l_1 + E_l_2 + ... + E_l_n = n \cdot \frac{1}{n} = 1$

Но у меня есть сомнение, ведь к примеру, не может быть $n-1$ неподвижной точки, ведь в таком случае оставшаяяся точка тоже будет неподвижна.

[svv]

Вы заметили, что ровно $n-1$ неподвижных точек в перестановке быть не может. Это правильно, но приведённым рассуждениям не мешает.

Рассмотрим для примера перестановки трёх элементов. Выделим цветом неподвижные точки.
123
132
213
231
312
321
Убедитесь на примере, что $k$-й элемент на множестве всех перестановок принимает каждое из значений равное количество раз. Докажите это. В скольких перестановках, следовательно, он равен $k$?

Сколько всего раз встречаются неподвижные точки во всех перестановках?