Топология. Замкнутые и открытые множества

[gleb_N]

1.Show that if $P$ is a point which does not belong to the closed point set $M$ then
there exist mutually exclusive open sets OP and OM containing point $\{P\}$ and $M$ respectively.
2.Show that if H and K are mutually exclusive closed point sets then there exist mutually exclusive
open sets OH and OK containing H and K, respectively

Дорогие друзья, надеюсь Вас не смутила формулировка задачи на английском. Оригинал приведен для полной точности моей передачи. Итак, в первой части необходимо построить открытые множества $OP$ и $OM$ так, чтобы они включали в себя точку $\{P\}$ и $M$, соответственно. В условии задано, что $M$ - замкнутое множество, не содержащее $\{P\}$.

Мы можем построить открытые множества, если расстояние $d$ будет больше нуля, тогда за радиус круга вокруг точки $P$ возьмем $\frac d3 $, а открытое множество $OM$ будет сформировано из объединений кругов с радиусом $\frac d3 $ вокруг каждой точки этого множества.
Теперь следует доказать, что $d\not=0$.
Докажем от противного. Пусть $d=0$, тогда для любого сколь угодно малого \varepsilon найдется такая точка из $M$, что $d(M_i,P)\ll\epsilon$. А это уже определение предельной точки.
Как все мы знаем, замкнутое множество содержит свои предельные точки, значит расстояние точно не равно нулю.

К сожалению, это доказательство не работает для второй части утверждения, поскольку мы имеем два закрытых множества. Возьмем к примеру два множества, которые стремятся к асимптоте, приближаясь к ней на сколь угодно малое расстояние. Тогда мы не сможем найти такое $\epsilon$, следовательно, $d=0$.
Хочется взять в качестве открытых множеств множества, чуть более широкие, чем данные, и чуть быстрее устремляющиеся к асимптоте. Но здесь у меня возникает вопрос. Как их задать и как доказать их существование (возможность их построения)
Заранее благодарю.
P.S. Если текст вышел кривой, прошу отнестись с пониманием, пишу на dxdy впервые.
Ваш,
gleb_N

[Someone]

Это в метрическом пространстве?

gleb_N в сообщении #1279677 писал(а):

Тогда мы не сможем найти такое $\epsilon$, следовательно, $d=0$.

Да, не сможем. Но если Вы для каждой точки одного множества возьмёте шар радиуса $\frac d3$, где $d$ — расстояние от этой точки до другого множества, то замыкание объединения этих шаров будет пересекать второе множество или не будет?