мера границы

[nckg]

Доброе утро!

У меня два небольших (и довольно банальных) вопроса по теории меры.

Пусть $\Omega$ --- ограниченное измеримое множество.
1) Всегда ли граница $\partial \Omega$ имеет меру нуль?
2) Верно ли, что $\forall \varepsilon >0 \; \exists M\subset\Omega$ --- такое замкнутое измеримое подмножество, что $\mu(\Omega\setminus M)<\varepsilon$?

Заранее спасибо!

[AD]

Нужно уточнить, по кому измеримое. По Лебегу? По Борелю? По Жордану?
И вообще, дело ведь происходит в топологическом пространстве с мерой, да?, а не в абстрактном?

Для меры Лебега в $\mathbb R^n$ ответ на первый вопрос отрицательный. В одном очень банальном примере (каков вопрос, таков ответ ) границей может быть даже всё $\overline{\Omega}$. А для меры Жордана --- положительный; более того, это критерий измеримости по Жордану.

На второй вопрос ответ положительный и по Лебегу, и по Жордану. Всякое измеримое по Лебегу множество представляется в виде $\bigcup\limits_{i=1}^\infty G_i\setminus Z$, где $G_i$ открыты, и $\mu Z=0$. Сначала выведите это утверждение (сразу следует из определения меры Лебега, даже внешней меры), а потом примените его к $\mathbb{R}^n\setminus\Omega$. Для Жордана можно доказать и проще, воспользовавшись вышеупомянутым критерием.

[Henrylee]

Про второй вопрос.
Рассмотрим сужение меры $\mu$ на $\Omega$ (предполагается, что это множество конечной меры $\mu$, а вот в каком смысле оно ограничено - пока непонятно).
Поскольку любая конечная мера в $R^n$ (да и в любом сепарабельном метризуемом ЛВП) является радоновской, свойство автоматически выполнено для любой меры.

[nckg]

Спасибо за напоминание критерия измеримости по Жордану --- я уже успел его забыть:)
"очень банальный пример" --- это, наверное, множество точек $[0,1]^n$ с рациональными координатами;)

Я извиняюсь за «туманную» формулировку вопроса. На самом деле рассматривается $[0,1]^n$ c индуцированной топологией $\mathbb R^n$, множество $\Omega\subset[0,1]^n$ и мера Лебега.
(Ограниченность понимается именно в том смысле, что $\Omega\subset[0,1]^n$, хотя при желании
можно рассматривать и всё $\mathbb R^n$, а от множества требовать только измеримость по Лебегу)
Из определения внешней меры для $\forall \varepsilon>0$ множество $U=[0,1]^n \setminus\Omega$ можно покрыть таким (счётным или конечным) набором $n$-мерных открытых параллелепипедов $P_k\subset [0,1]^n$, $U\subset V = \bigcup\limits_k P_k$, что $\mu(V) - \mu(U)<\varepsilon$. Множество $W=[0,1]^n \setminus V$ --- замкнутое и $W\subset \Omega$, причём из приведённого выше неравенства следует, что $\mu(\Omega) - \mu(W)<\varepsilon$. Таким образом, мой вопрос номер 2 вроде бы решён...
(Правда мне кажется, что можно было показать это короче.)

А вот как получить представление $\bigcup\limits_{i=1}^\infty G_i\setminus Z$, я не совсем понял.
На первый взгляд, нужно немного изменить рассуждения, приведённые выше, и для каждого $\varepsilon>0$ построить открытое $W_\varepsilon\subset\Omega\colon \; \mu(\Omega) - \mu(W_\varepsilon)<\varepsilon$, а затем взять $\varepsilon=\frac{1}{m}, \; m\in\mathbb N$ и рассмотреть множество

$$\Omega_1=\bigcup\limits_m W_{\varepsilon_m}$$

Его мера равна $\mu(\Omega)$, а поэтому $\mu(\Omega\setminus\Omega_1)=0$, т.е. искомое представление получено. Таким образом, у меня получилось доказать «в обратном порядке» по сравнению с тем, что предложил AD. А как получить в «прямом порядке»?

[AD]

nckg, у меня очепятка. Нужно читать $\bigcap\limits_{i=1}^\infty G_i\setminus Z$. Открытые множества вообще нет смысла объединять.

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

nckg писал(а):

открытое $W_\varepsilon\subset\Omega\colon \; \mu(\Omega) - \mu(W_\varepsilon)<\varepsilon$

Это очень редко возможно (рассмотрите множество иррациональных точек).

Добавлено спустя 3 минуты 3 секунды:

А вот построить открытое $W_\varepsilon\supset\Omega\colon \; \mu(W_\varepsilon)-\mu(\Omega)<\varepsilon$ гораздо проще - нужно лишь взять объединение открытых параллелепипедов из определения внешней меры.

Короче, я ввел вас в заблуждение своей очепяткой. Извиняюсь.

Добавлено спустя 42 секунды:

Ну а потом, конечно, $G_k=W_{1/k}$.

Добавлено спустя 4 минуты 21 секунду:

А если делать так, как вы, то надо пользоваться замкнутыми множествами, и получится двойственное представление в виде $\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\sqcup Z$. Доказательство --- переход к дополнению $[0,1]^n\setminus\Omega$, тогда $G_i\sqcup F_i=[0,1]^n$.

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

Ну, собственно, что вы и сделали.

[nckg]

Да, действительно, для множества иррациональных точек построить открытое $W_\varepsilon\subset\Omega\colon \; \mu(\Omega) - \mu(W_\varepsilon)<\varepsilon$ не удастся, я тоже как-то упустил это из виду
Но как получается представление $\bigcap\limits_{i=1}^\infty G_i\setminus Z$ теперь понятно.

Ну ладно, для меня главное, чтобы можно было построить замкнутое $W\subset\Omega$, сколь угодно близкое по мере к $\Omega$.
Но здесь-то я вроде не наврал

(Кстати, любопытно получилось --- замкнутое можно, а открытое --- не всегда)