Принцип Мопертюи

[pogulyat_vyshel]

Геодезические
Пусть на гладком многообразии $M$ c локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)$ задана риманова метрика $g_{ij}(x)$. Тогда длина кривой $\gamma\in M$, заданной параметрически $x=x_*(t),\quad t\in[t_1,t_2]$, вычисляется по формуле

$$d[x_*(\cdot)]=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{g_{ij}(x_*(t))\dot x_*^i\dot x^j _*}dt.\qquad (1)$$

Этот интеграл не меняет своего вида при смене параметризации кривой. Это выражает тот факт, что длина кривой не зависит от того, как кривая параметризована.

Кривая, параметрическое уравнение которой, задается как экстремаль функционала $x\mapsto d[x]$ в классе функций $x:[t_1,t_2]\to M$ с фиксированными значениями на концах отрезка $x(t_i)=x_i,\quad i=1,2,$ называется геодезической метрики $g_{ij}$.


Таким образом, параметрическое уравнение геодезической есть решение уравнений Лагранжа с лагранжианом $\mathcal L=\sqrt{g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j }$.
Поэтому, в силу инвариантности интеграла (1) относительно перепараметризаций кривой, это определение корректно.
Пусть $ x=\varphi(t)$ -- экстремаль указанного функционала. Если параметризация этой кривой выбрана так, что $g_{ij}(\varphi(t))\dot \varphi^i(t)\dot \varphi^j(t)=1$ то уравнения Лагранжа с лагранжианом $\mathcal L$ принимают стандартный вид уравнений геодезических:

$$\ddot \varphi^i+\Gamma_{js}^i\dot \varphi^j\dot \varphi^s=0.$$

Принцип Мопертюи
Зададим на многообразии $M$ систему с лагранжианом $L=T-V,$ где $T=\frac{1}{2}a_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j$ -- кинетическая энергия -- положительно определенная симметричная форма скоростей, а $V=V(x)$ -- потенциальная энергия.


Введем в области $D_h:=\{V<h\}\subset M$ ($h$ -- некоторая константа) метрику Якоби формулой $ g_{ij}(x):=\frac{1}{2}a_{ij}(x)(h-V(x))$.


Теорема
1) Пусть $x(t)\subset D_h$ решение уравнений Лагранжа с лагранжианом $L$ и полной энергией $h:\quad T+V=h$. Тогда $x(t)$ является геодезической метрики Якоби.

2) Любая геодезическая метрики Якоби $\gamma\subset D_h$, будучи параметризована параметром $t$ так, чтоб выполнялось равенство $T+V=h$ является решением уравнений Лагранжа с Лагранжианом $L.$

Доказательство.
Проверим, что если функция $x(t)$ удовлетворяет равенству $T+V=h$ то она является решением уравнений Лагранжа с лагранжианом $L$ тогда и только тогда, когда она является решением уравнений Лагранжа с лагранжианом $J=\sqrt{T(h-V)}$.
Действительно,

$$\frac{\partial J}{\partial \dot x^k}=\frac{\sqrt{h-V}}{2\sqrt{T}}\frac{\partial T}{\partial \dot x^k}=\frac{1}{2}\frac{\partial T}{\partial \dot x^k};\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial J}{\partial \dot x^k}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^k}$$

(каждый раз мы используем, что $h-V=T$)
и

$$ \frac{\partial J}{\partial x^k}=\frac{1}{2\sqrt{T(h-V)}}\Big((h-V)\frac{\partial T}{\partial x^k}-T\frac{\partial V}{\partial x^k}\Big) $$

Окончательно получаем

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial J}{\partial \dot x^k}-\frac{\partial J}{\partial x^k}=\frac{1}{2}\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}-\frac{\partial L}{\partial x^k}\Big)$$

чтд