Дифференциальное уравнения для решения физической задачи

[Men007]

Груз массой $m$ подвешен на пружине с коэффициентом жесткости $k$. Найти закон движения груза, если с момента времени $t=0$ верхний конец пружины начинает совершать вертикальное гармоническое колебание$x=A \sin\omega t$. Считать, что в начальный момент времени груз находился в покое (сопротивлением среды пренебречь).

Решение:
Составим уравнение незатухающих колебаний:
$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-m \omega^{2}x$

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega^{2}x=0$

$x''+\omega^{2}x=0$

$x(t)=C_{1}\sin(\omega t)+C_{2}\cos(\omega t)$
А дальше, что делать не понимаю.
Да и вообще, не уверен, что решаю правильно.

[Pphantom]

Так тоже можно, но это слишком сложно. Вы знаете, как связана циклическая частота гармонических колебаний с жесткостью системы и массой груза?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тематика.

[Men007]

Pphantom
Да, это я знаю: $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Я начал так решать, поскольку данная задача находится в Теме "Решение физических задач с помощью составления дифференциальных уравнений".

[EUgeneUS]

Pphantom в сообщении #1279030 писал(а):

Так тоже можно, но это слишком сложно.

Хм.. Известно
а) До момента $t_0$ груз покоился.
б) С момента $t_0$ груз совершает гармонические колебания.

Это может быть в двух случаях:
1. Внешняя сила "делтообразна" - толчок.
2. Внешняя сила гармоническая и периодическая возникает в момент времени $t_0$.

Тогда в варианте 2 диффур, записанный ТС - неверный, и "так нельзя".

[Men007]

EUgeneUS
Возможно, что диффур будет тогда выглядеть так:
$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=mg-kx$.
В противном случае я не знаю, как его составить.

-- 26.12.2017, 22:44 --

Я так полагал:
$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=mg-kx$
$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=g$

1) Решаем однородное уравнение:
$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0$

$x=e^{\mu t}$

Составляем характеристическое уравнение:
$\mu^{2}+\frac{k}{m}=0$
$\mu_{1}=i \sqrt{\frac{k}{m}}$
$\mu_{2}=-i \sqrt{\frac{k}{m}}$

Следовательно, получим:
$x_{o}=C_{1}\cos(t \sqrt{\frac{k}{m}})+C_{2}\sin(t \sqrt{\frac{k}{m}})$

2) Решаем неоднородное уравнение:
$x_{ne.o}=B$

$\frac{k}{m} B=g$

$B=\frac{mg}{k}$

Таким образом, закон движения груза имеет вид:
$x(t)=C_{1}\cos(t \sqrt{\frac{k}{m}})+C_{2}\sin(t \sqrt{\frac{k}{m}})+\frac{mg}{k}$

Найдем $C_{1}$ и $C_{2}$:
$x(0)=C_{1}+\frac{mg}{k}=0$
$C_{1}=- \frac{mg}{k}$

$\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{k}{m}}(C_{2}\cos(t \sqrt{\frac{k}{m}})-C_{1}\sin(t \sqrt{\frac{k}{m}}))$
$\frac{dx(0)}{dt}=C_{2} \sqrt{\frac{k}{m}}=0$
$C_{2}=0$

Значит, закон движения груз будет иметь вид:
$x(t)=- \frac{mg}{k} \cos(t \sqrt{\frac{k}{m}})+\sqrt{\frac{k}{m}}$

[EUgeneUS]

Men007
Я просто предложил Вам "почувствовать себя бревном". Это такая фигура речи, означающая, что перед тем как писать диффуры, предлагается понять, что же происходит.
А происходит вот что:
1. У нас имеется осциллятор без затухания.
2. До момента времени $t_0$ он покоится.
3. С момента времени $t_0$ он колеблется.
4. Очевидно, возникаете вопрос: с какого перепуга?

Ответ, также очевиден - на грузик подействовала\действует какая-то сила. Про которую мы ничего не знаем.

1. Мы можем считать колебания до $t_0$ (которых нет) и после $t_0$ (которые есть) свободными. Тогда Ваш ход решения имеет смысл. Но нужно понимать, что закон данный нам в условиях: $x=A \sin\omega t$, описывает $x$ не вокруг не сжатой пружинки, а вокруг точки равновесия. В отличие от Вашего решения, где есть смещающая константа. Кроме того, в этом случае внешняя сила имеет бесконечное значение, бесконечно малое время действия, но передает конечный импульс.
2. Но, опять же, с какого перепуга мы считаем то, что считаем в пункте а)? Если есть и другое решение с несвободными колебаниями.

[Men007]

EUgeneUS
По сути, можно сказать, что я решил верно, если учитывать, что колебания являются свободными?

Вообще, эта задача не из учебника по физике, а из учебника по математике. Я не думаю, что здесь делали упор на физические законы и явления. Скорей всего, здесь просто нужно было составить дифференциальное уравнение и решить его.

[Pphantom]

Men007 в сообщении #1279035 писал(а):

Да, это я знаю: $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Ну тогда Вам либо надо использовать этот факт (и тогда задача становится тривиальной), либо вывести его (и тогда уравнение движения должно выглядеть иначе - в нем должна хоть как-нибудь появиться жесткость $k$).

EUgeneUS в сообщении #1279036 писал(а):

Это может быть в двух случаях:
1. Внешняя сила "делтообразна" - толчок.
2. Внешняя сила гармоническая и периодическая возникает в момент времени $t_0$.

Тогда в варианте 2 диффур, записанный ТС - неверный, и "так нельзя".

Боюсь, что это слишком хитро. Судя по упомянутому "названию темы", в лучшем случае в ответе предполагается указание вариантов при $t \leqslant 0$ и $t >0$, в худшем - это просто неудачная формулировка.

Men007 в сообщении #1279037 писал(а):

Значит, закон движения груз будет иметь вид:
$x(t)=- \frac{mg}{k} \cos(t \sqrt{\frac{k}{m}})+\sqrt{\frac{k}{m}}$

Поскольку задача таки числилась физической, полезно подумать хотя бы о размерности результата. Какой она будет у второго слагаемого? Это похоже на размерность, которую должна иметь координата?

[EUgeneUS]

Men007 в сообщении #1279053 писал(а):

Вообще, эта задача не из учебника по физике, а из учебника по математике. Я не думаю, что здесь делали упор на физические законы и явления. Скорей всего, здесь просто нужно было составить дифференциальное уравнение и решить его.

Если это задача из задачника по математике, то должно быть четкое, недвусмысленное указание в условиях, что колебания свободные. ИМХО. Ибо, с точки зрения математики Вы имеете диффур с хрен знает какой правой частью. Что-то должно указывать на то, что при $t<0$ она (правая часть) равна нулю, и что при $t>0$ она равна нулю. А в $t=0$ происходит что-то чудесное и неизвестное.

-- 26.12.2017, 22:33 --

А если таких указаний нет в задачнике по математике, то, ИМХО, Вы не имеете никаких прав исключать другие решения, математически возможные. Впрочем, в этом случае, и физически возможные.

-- 26.12.2017, 22:42 --

Pphantom в сообщении #1279055 писал(а):

Боюсь, что это слишком хитро.

(про детей, розетку и провода)

недавно в курилке возник вопрос: "как объяснить ребенку 4-х лет, откуда берется электричество в розетке".
на попытки объяснить, что "из проводов", вспоминая некоторые темы тут...
сказал, что "электричество" передается не по проводам, а полем вокруг проводов. За что был заплеван жвачками.
Но возразил: "с малых лет надо прививать правильный взгляд на окружающий мир"

[Men007]

EUgeneUS
Нашел: несколько задач назад было уточнение о том, что в последующих задачах колебания считать свободными.

-- 27.12.2017, 01:35 --

Pphantom
В итоге, я только понял, что у меня неверное решение, но как сделать его верным, я так все еще и не понимаю.

[Pphantom]

Men007 в сообщении #1279075 писал(а):

В итоге, я только понял, что у меня неверное решение, но как сделать его верным, я так все еще и не понимаю.

Ну, например, посмотреть, где именно появлялся этот член.

Кстати, мы дружно (ну по крайней мере я) не заметили одну важную деталь в условии:

Men007 в сообщении #1279019 писал(а):

Груз массой $m$ подвешен на пружине с коэффициентом жесткости $k$. Найти закон движения груза, если с момента времени $t=0$ верхний конец пружины начинает совершать

(выделение жирным - мое). Соответственно, и задача посложнее, и частота в ней дана не просто так.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1279036 писал(а):

С момента $t_0$ груз совершает гармонические колебания.

Это, строго говоря, неизвестно. Известно движение верхнего конца пружины.

Men007 в сообщении #1279037 писал(а):

Возможно, что диффур будет тогда выглядеть так:
$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=mg-kx$.

А что в этом диффуре обозначает $x$: это координата груза или растяжение пружины? Для обоих вариантов уравнение неверное.

Pphantom в сообщении #1279080 писал(а):

Кстати, мы дружно (ну по крайней мере я) не заметили одну важную деталь в условии:

Цитата:

Men007 в сообщении #1279019
писал(а):
Груз массой $m$ подвешен на пружине с коэффициентом жесткости $k$. Найти закон движения груза, если с момента времени $t=0$ верхний конец пружины начинает совершать

(выделение жирным - мое). Соответственно, и задача посложнее, и частота в ней дана не просто так.

Это как раз не страшно - если отмерять координату от положения равновесия, сила тяжести из уравнения пропадет. А вот почему участники обсуждения считают, будто $\omega=\sqrt{k/m}$, непонятно. Более того, при таком равенстве и отсутствии затухания амплитуда будет расти неограниченно.

[realeugene]

Men007 в сообщении #1279019 писал(а):

Да и вообще, не уверен, что решаю правильно.

Да, решаете неправильно.
Я бы вам посоветовал начать решение с чертежа, хоть он и кажется очень простым и, поэтому, излишним.

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1279097 писал(а):

А вот почему участники обсуждения считают, будто $\omega=\sqrt{k/m}$, непонятно.

Я именно про это. Просто условие сформулировано так, что, прозевав слово "верхний", задачу можно сильно упростить.