Попарная равносильность (уточнение)

[gogoshik]

Подскажите, плиз. Если сказано, что три утверждения попарно равносильны, то это означает, что истинность каждого из них влечет эквивалентность двух оставшихся (например, если истинно Утверждение 1, то Утверждение 2 истинно тогда и только тогда, когда истинно Утверждение 3 и т.д.)?

[Mikhail_K]

Попарная равносильность означает, что любые два из них равносильны (или, что то же самое, эквивалентны).

Ваш "критерий" попарной равносильности неверен, и можно привести для него контрпример (когда критерий выполнен, а попарной равносильности нет).
Но вначале: откуда этот критерий вообще взялся?

[gogoshik]

Mikhail_K, спасибо. Я ничего не утверждал, а просто спрашивал. В одной из задач необходимо доказать, что три (указанные в задаче) условия попарно равносильны друг другу. Теперь буду знать, что это такое. Благодарю Вас.

[arseniiv]

gogoshik
Если $n$ утверждений попарно равносильны, то они или все одновременно истинны, или все одновременно ложны. «Если одно истинно, то любая пара оставшихся эквивалентна» — это более слабое утверждение и, к тому же, это следствие бесполезное, потому что посылка не усиливает заключение, это заключение отдельно от неё тривиально выводится из того, что утверждения попарно эквивалентны.

-- Вт дек 26, 2017 00:25:42 --

Чтобы доказать, что утверждения $A_1,\ldots,A_n$ все друг другу равносильны, достаточно предъявить такой набор доказательств $A_{m_1}\Rightarrow A_{n_1},\ldots,A_{m_\ell}\Rightarrow A_{n_\ell}$, для которого по стрелочкам $\Rightarrow$ можно будет попасть из любого утверждения в любое. Иначе говоря, если взять граф с вершинами-утверждениями и дугами $\to$ из утверждения в утверждение, если у нас есть доказательство второго из первого, то утверждения равносильны друг другу тогда и только тогда, когда граф сильно связный.

[gogoshik]

arseniiv, спасибо.