2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 13:14 


22/11/07
93
Добрый день. Попалась такая задача:
Цитата:
В треугольнике ABC угол ABC равен 120°. На стороне AC взяты несовпадающие точки M и N так, что $BM^2 = AM \cdot CM$ и $BN^2 = AN \cdot CN$. Радиус окружности описанной около треугольника BMN равен $\sqrt{3}$. Найти AC


Изображение

Есть только разрозненные мысли, направленные все совершенно в разные стороны:
1. Свойство треугольника с углом 120 градусов, заключающееся в том, что треугольник с вершинами, совпадающими с основаниями биссектрис - прямоугольный как задействовать не вижу, может оно и не нужно.

2. Нашел точки пересечения данной окружности со сторонами AB и BC в точках F и H соответсвенно, нашел по теореме синусов эту сторону: $FH = 2R \cdot \sin{120^{\circ}} = 3 $. Предполагаю, что FH может являться средней линией, и тогда ответ очевиден $AC = 6$. Но может быть это и не так, а если так, то надо доказать.

3. Не дают покоя выражения вида $BM^2 = AM \cdot CM$. Очень похожи на свойство касательной и секущей, но по рисунку ничего похожего не получается. Тогда я попробовал построить на AC как на диаметре полуокружность и провести перпендикуляры из точек M и N. Получил точки $B_1$ и $B_2$ соответственно и для них верно, что $B_1M^2 = AB \cdot CM$ и $B_2N^2 = AN \cdot CN$.
Т.е. $B_1M = BM$ и $B_2N = BN$ .

4. Также, хотел применить теоремы Чевы и Менелая, но не могу найти требуемых конфигураций.

Натолкните пожалуйста на мысль, как пойти с решением дальше. Или, если один из перечисленных пунктов имеет смысл развивать, подскажите хотя бы номер пункта. А также поделитесь пожалуйста ссылкой на материалы по треугольникам 120 градусов. Почему то, кроме свойства биссектрис и точек Ферма-Торричелли более ничего не нашел.

Спасибо, если откликнитесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Пока не думала... но
Pripyat в сообщении #1278245 писал(а):
Не дают покоя выражения вида $BM^2 = AM \cdot CM$. Очень похожи на свойство касательной и секущей,
А если продолжить $BM$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC$ (центр -- $O$)? Получится, что $M$ -- середина хорды, и, значит, $OM$ перпендикулярно $BM$. Аналогично с $N$. Значит, выделенная на вашем рисунке окружность проходит через $O$ и $BO$ -- ее диаметр. Его длина $\sqrt3$... Хорошо бы найти и другие углы четырехугольника $MBNO$ -- вдруг они тоже прямые?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 14:40 


22/11/07
93
provincialka, спасибо Вам большое! Совсем напрочь забыл о свойстве пересекающихся хорд: $AO \cdot BO = CO \cdot DO$

Тогда получается, что если BO - диаметр окружности, то он равен $BO = 2 \sqrt{3}$. Но BO - радиус описанной окружности около ABC, тогда по теореме синусов могу найти $AC = 2BO \cdot \sin{120} = 6$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Pripyat в сообщении #1278262 писал(а):
BO - диаметр окружности
Pripyat в сообщении #1278245 писал(а):
Радиус окружности описанной около треугольника BMN равен $\sqrt{3}$.

Это разные окружности! $BO=\sqrt3$. Но до решения тут ещё далеко...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 14:53 


22/11/07
93
provincialka, да, разные, но разве диаметр окружности около BMN не является радиусом окружности ABC?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Pripyat в сообщении #1278262 писал(а):
BO - диаметр окружности, то он равен $BO = 2 \sqrt{3}$

Проверьте! Двойка -- лишняя.

Четырёхугольник чрезвычайно похож на прямоугольник... Но я этого пока не доказала... Некогда. Но вы, все-таки, держите нас в курсе решения! :lol:

-- 24.12.2017, 15:15 --

А может и не прямоугольник... Точка $K$ почему-то не на $MN$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 15:22 


22/11/07
93
provincialka Но если $BO = \sqrt{3}$ и BO - диаметр, то как же получается что диаметр равен радиусу?
По условию:
Цитата:
Радиус окружности описанной около треугольника BMN равен $\sqrt{3}$
.
Радиусы это окружности - это отрезки KB, KM, KN, KO и они равны $\sqrt{3}$.
Как тогда может быть $BO = \sqrt{3}$

Четырехугольник действительно похож на прямоугольник. Но это не он! Точно! Там только два угла прямые. Это для решения и не нужно ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А! Извините, была невнимательна! Думала, что задан радиус окружности, описанной около исходного треугольника.
Впрочем, численные значения можно уточнить, тут нужны новые идеи...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Pripyat в сообщении #1278270 писал(а):
но разве диаметр окружности около BMN не является радиусом окружности ABC?
(Я не сомневаюсь, что является. Но) не пойму, как Вы это аргументируете? или это пока только идея?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
grizzly
Хм... вроде мы это уже выяснили? Или вы ждете от ТС подробного доказательства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
provincialka
Ну да, я просто в обозначениях заплутал. Получили, что на последнем риснунке $BN=NJ$ по свойству пересекающихся хорд и дальше равенство треугольников. Но тогда, значит, ТС довёл задачу до конца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
grizzly
До конца ещё далеко! Мы только "пристроили" эту описанную окружность.. А надо посчитать длину $AC$, использовав информацию о размере угла...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 17:59 
Заслуженный участник


04/03/09
906
provincialka в сообщении #1278319 писал(а):
До конца ещё далеко!
Да близко на самом деле. У нас есть два подобных треугольника, с коэффициентом подобия 2. Значит, и радиусы описанных окружностей относятся как $2 :1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
12d3 в сообщении #1278326 писал(а):
У нас есть два подобных треугольника, с коэффициентом подобия 2. Значит, и радиусы описанных окружностей относятся как $2 :1$
Я так понял, что с точностью до наоборот: есть две окружности с таким отношением, значит такое же у подобных треугольников и $AC=2FH=6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: треугольник 120 градусов
Сообщение24.12.2017, 19:22 


22/11/07
93
Pripyat в сообщении #1278262 писал(а):
provincialka, спасибо Вам большое! Совсем напрочь забыл о свойстве пересекающихся хорд: $AO \cdot BO = CO \cdot DO$

Тогда получается, что если BO - диаметр окружности, то он равен $BO = 2 \sqrt{3}$. Но BO - радиус описанной окружности около ABC, тогда по теореме синусов могу найти $AC = 2BO \cdot \sin{120} = 6$


Ранее, я использовав теорему синусов, нашел $AC$. Так же тоже можно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group