Геометрия: треугольник 120 градусов

[Pripyat]

Добрый день. Попалась такая задача:

Цитата:

В треугольнике ABC угол ABC равен 120°. На стороне AC взяты несовпадающие точки M и N так, что $BM^2 = AM \cdot CM$ и $BN^2 = AN \cdot CN$. Радиус окружности описанной около треугольника BMN равен $\sqrt{3}$. Найти AC

Есть только разрозненные мысли, направленные все совершенно в разные стороны:
1. Свойство треугольника с углом 120 градусов, заключающееся в том, что треугольник с вершинами, совпадающими с основаниями биссектрис - прямоугольный как задействовать не вижу, может оно и не нужно.

2. Нашел точки пересечения данной окружности со сторонами AB и BC в точках F и H соответсвенно, нашел по теореме синусов эту сторону: $FH = 2R \cdot \sin{120^{\circ}} = 3 $. Предполагаю, что FH может являться средней линией, и тогда ответ очевиден $AC = 6$. Но может быть это и не так, а если так, то надо доказать.

3. Не дают покоя выражения вида $BM^2 = AM \cdot CM$. Очень похожи на свойство касательной и секущей, но по рисунку ничего похожего не получается. Тогда я попробовал построить на AC как на диаметре полуокружность и провести перпендикуляры из точек M и N. Получил точки $B_1$ и $B_2$ соответственно и для них верно, что $B_1M^2 = AB \cdot CM$ и $B_2N^2 = AN \cdot CN$.
Т.е. $B_1M = BM$ и $B_2N = BN$ .

4. Также, хотел применить теоремы Чевы и Менелая, но не могу найти требуемых конфигураций.

Натолкните пожалуйста на мысль, как пойти с решением дальше. Или, если один из перечисленных пунктов имеет смысл развивать, подскажите хотя бы номер пункта. А также поделитесь пожалуйста ссылкой на материалы по треугольникам 120 градусов. Почему то, кроме свойства биссектрис и точек Ферма-Торричелли более ничего не нашел.

Спасибо, если откликнитесь

[provincialka]

Пока не думала... но

Pripyat в сообщении #1278245 писал(а):

Не дают покоя выражения вида $BM^2 = AM \cdot CM$. Очень похожи на свойство касательной и секущей,

А если продолжить $BM$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC$ (центр -- $O$)? Получится, что $M$ -- середина хорды, и, значит, $OM$ перпендикулярно $BM$. Аналогично с $N$. Значит, выделенная на вашем рисунке окружность проходит через $O$ и $BO$ -- ее диаметр. Его длина $\sqrt3$... Хорошо бы найти и другие углы четырехугольника $MBNO$ -- вдруг они тоже прямые?

[Pripyat]

provincialka, спасибо Вам большое! Совсем напрочь забыл о свойстве пересекающихся хорд: $AO \cdot BO = CO \cdot DO$

Тогда получается, что если BO - диаметр окружности, то он равен $BO = 2 \sqrt{3}$. Но BO - радиус описанной окружности около ABC, тогда по теореме синусов могу найти $AC = 2BO \cdot \sin{120} = 6$

[provincialka]

Pripyat в сообщении #1278262 писал(а):

BO - диаметр окружности

Pripyat в сообщении #1278245 писал(а):

Радиус окружности описанной около треугольника BMN равен $\sqrt{3}$.

Это разные окружности! $BO=\sqrt3$. Но до решения тут ещё далеко...

[Pripyat]

provincialka, да, разные, но разве диаметр окружности около BMN не является радиусом окружности ABC?

[provincialka]

Pripyat в сообщении #1278262 писал(а):

BO - диаметр окружности, то он равен $BO = 2 \sqrt{3}$

Проверьте! Двойка -- лишняя.

Четырёхугольник чрезвычайно похож на прямоугольник... Но я этого пока не доказала... Некогда. Но вы, все-таки, держите нас в курсе решения!

-- 24.12.2017, 15:15 --

А может и не прямоугольник... Точка $K$ почему-то не на $MN$...

[Pripyat]

provincialka Но если $BO = \sqrt{3}$ и BO - диаметр, то как же получается что диаметр равен радиусу?
По условию:

Цитата:

Радиус окружности описанной около треугольника BMN равен $\sqrt{3}$

.
Радиусы это окружности - это отрезки KB, KM, KN, KO и они равны $\sqrt{3}$.
Как тогда может быть $BO = \sqrt{3}$

Четырехугольник действительно похож на прямоугольник. Но это не он! Точно! Там только два угла прямые. Это для решения и не нужно ...

[provincialka]

А! Извините, была невнимательна! Думала, что задан радиус окружности, описанной около исходного треугольника.
Впрочем, численные значения можно уточнить, тут нужны новые идеи...

[grizzly]

Pripyat в сообщении #1278270 писал(а):

но разве диаметр окружности около BMN не является радиусом окружности ABC?

(Я не сомневаюсь, что является. Но) не пойму, как Вы это аргументируете? или это пока только идея?

[provincialka]

grizzly
Хм... вроде мы это уже выяснили? Или вы ждете от ТС подробного доказательства?

[grizzly]

provincialka
Ну да, я просто в обозначениях заплутал. Получили, что на последнем риснунке $BN=NJ$ по свойству пересекающихся хорд и дальше равенство треугольников. Но тогда, значит, ТС довёл задачу до конца.

[provincialka]

grizzly
До конца ещё далеко! Мы только "пристроили" эту описанную окружность.. А надо посчитать длину $AC$, использовав информацию о размере угла...

[12d3]

provincialka в сообщении #1278319 писал(а):

До конца ещё далеко!

Да близко на самом деле. У нас есть два подобных треугольника, с коэффициентом подобия 2. Значит, и радиусы описанных окружностей относятся как $2 :1$

[grizzly]

12d3 в сообщении #1278326 писал(а):

У нас есть два подобных треугольника, с коэффициентом подобия 2. Значит, и радиусы описанных окружностей относятся как $2 :1$

Я так понял, что с точностью до наоборот: есть две окружности с таким отношением, значит такое же у подобных треугольников и $AC=2FH=6$.

[Pripyat]

Pripyat в сообщении #1278262 писал(а):

provincialka, спасибо Вам большое! Совсем напрочь забыл о свойстве пересекающихся хорд: $AO \cdot BO = CO \cdot DO$

Тогда получается, что если BO - диаметр окружности, то он равен $BO = 2 \sqrt{3}$. Но BO - радиус описанной окружности около ABC, тогда по теореме синусов могу найти $AC = 2BO \cdot \sin{120} = 6$

Ранее, я использовав теорему синусов, нашел $AC$. Так же тоже можно?