2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Независимость среди порядочных
Сообщение23.12.2017, 21:23 
Заслуженный участник


10/01/16
1896

(Оффтоп)

Где то видел...

Рассмотрим простенькое вероятностное пространство: отрезок $[0,1]$, с мерой Лебега в качестве вероятности .
Непрерывное отображение $\xi:[0,1] \to [0,1]$ будем называть порядочной случайной величиной. Монотонную порядочную назовем упорядоченной, а порядочную, нормированную условиями $\xi (0) =0, \xi (1)=1$ - добропорядоченной.
1. Для данной доброупорядоченной $\xi$ (например, $\xi(x)=x$) найдите все независимые с ней порядочные.

(Оффтоп)

Узас: ужели независимость двух порядочных, дополненная нормами и правилами (монотонность) одного влечет тривиальность другого?
2. Для двух независимых добропорядочных $\xi,\eta$, найдите образ отрезка $[0,1]$ при отображении $x\mapsto (\xi(x),\eta(x))$
3. Приведите пример двух независимых добропорядочных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение14.01.2018, 13:05 
Заслуженный участник


10/01/16
1896
Что-то, никого моя задача не заинтересовала. Otta грит: потому как формулировка дебильная...
Жаль - потому что факт неожиданный: такое обыденное понятие, как независимость, на поверку выходит очень даже нетривиальным. Так, в 2), образом отрезка будет весь квадрат. А в 3) - видимо, надо (можно) использовать кривую Пеано

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение14.01.2018, 13:32 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Независимые случайные величины понимаются всегда в системе. Например, совокупность людей:
а) носящих или нет ключи на брелке;
б) занимающихся или нет физупражнениями;
в) болеющие или нет гриппом в этом сезоне.
Переменные а) и б, в) можно считать независимыми. А вот б) и в) как-то связаны, что можно выявить статметодами.
А что DeBill понимает под независимостью, рассматривая абстрактные вероятностные распределения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение14.01.2018, 13:46 
Заслуженный участник


10/01/16
1896
atlakatl
По определению, две случайных величины $\xi,\eta$ называются независимыми, если для любых (борелевских) множеств $B,C$ события $\{\xi \in B\}$ и $\{\eta \in C\}$ независимы

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение14.01.2018, 15:08 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
DeBill
В своём примере я продемонстрировал определение, Вами приведённое.
Вот как я понял часть условий:
$f(t)=-3t^2+4t$ - добропорядочная величина.
$g(t)=t^2+4/3t$ - порядочная величина.
Мы можем найти для них ковариацию, коэффициент корреляции. Но как определить, зависят ли они одна от другой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение14.01.2018, 18:16 
Заслуженный участник


10/01/16
1896
atlakatl
Ну, вообще то, они принимают значения, большие 1...
Но - не важно: зависимы они. Например, $\xi(x) >1$ при $\frac{1}{3}<x<1$, так что $P\{\xi >1\} =\frac{2}{3}$. $\frac{5}{9} < \eta (x) < \frac{7}{3}$ при тех же $x$, так что и $P\{\frac{5}{9} < \eta  < \frac{7}{3}\} =\frac{2}{3}$ . Но события эти зависимы:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$ не равно $\frac{2}{3}$

-- 14.01.2018, 20:19 --

(Оффтоп)

Здесь мы пользуемся определением: события $A$ и $B$ -независимы - означает $P(AB)=P(A)P(B)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение14.01.2018, 19:30 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
DeBill в сообщении #1284019 писал(а):
они принимают значения, большие 1
А как иначе обеспечить полную единицу в интеграле?
Дальше сам почитаю. А то тут уже раздражённые комментарии в личку поехали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение15.01.2018, 01:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3055
Москва
1. Рассмотрим прообразы всех отрезков относительно $\xi$ - это отрезки. Пусть $\varepsilon > 0$ - инфимум их длин. Возьмем отрезок $[a; b]$, прообразом которого является отрезок $[c; d]$ длиной меньше $\frac{3\varepsilon}{2}$. Возьмем $e = \sup x: \xi(x) \leqslant \frac{a+b}{2}$, возьмем отрезок $[c; \frac{c + e}{2}$] - его образом является какой-то отрезок $[a; f]$, где $f \leqslant \frac{a+b}{2}$. Прообразами $[a; f]$ и $[f; b]$ являются отрезки $[c; g]$ и $[g; d]$ для какого-то $g$ - длина хотя бы одного из них меньше $\frac{3\varepsilon}{4}$.
Таким образом, сколь угодно короткие отрезки бывают $\xi$-прообразами отрезков.
Если $\psi$ и $\xi$ независимы, то на каждом отрезке, являющимся $\xi$-прообразом отрезка, $\psi$ имеет "одинаковое распределение" - в частности оказывается в $\varepsilon$ окрестностях своих максимума и минимума. Но если $\psi$ непрерывна и при этом неконстантна на отрезке, то такого быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение15.01.2018, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3055
Москва
Собственно тут от порядочности требовалось, чтобы в порожденной $\xi$ сигма-алгебре встречались множества положительной меры сколь угодно малого диаметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение15.01.2018, 18:32 
Заслуженный участник


10/01/16
1896
mihaild в сообщении #1284269 писал(а):
Собственно тут от порядочности требовалось, чтобы в порожденной $\xi$ сигма-алгебре встречались множества положительной меры сколь угодно малого диаметра.

Ну да. И для непостоянной $\psi$ из независимости тогда сразу следует отсутствие ее равномерной непрерывности, ибо болтается она везде от максимума до минимума, да.
mihaild в сообщении #1284139 писал(а):
прообразы всех отрезков

Вот только это как то неаккуратно....

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение15.01.2018, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3055
Москва
DeBill в сообщении #1284339 писал(а):
Вот только это как то неаккуратно....
А что неаакуратного? Есть множество всех отрезков, можно посмотреть на прообраз каждого отрезка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение15.01.2018, 20:50 
Заслуженный участник


10/01/16
1896
Дык: $\varepsilon$ будет равно нулю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость среди порядочных
Сообщение15.01.2018, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3055
Москва
Да, согласен, нужны отрезки ненулевой длины (а лучше сразу непустые интервалы, еще чуть меньше возни будет).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group