Независимость среди порядочных

[DeBill]

(Оффтоп)

Где то видел...

Рассмотрим простенькое вероятностное пространство: отрезок $[0,1]$, с мерой Лебега в качестве вероятности .
Непрерывное отображение $\xi:[0,1] \to [0,1]$ будем называть порядочной случайной величиной. Монотонную порядочную назовем упорядоченной, а порядочную, нормированную условиями $\xi (0) =0, \xi (1)=1$ - добропорядоченной.
1. Для данной доброупорядоченной $\xi$ (например, $\xi(x)=x$) найдите все независимые с ней порядочные.

(Оффтоп)

Узас: ужели независимость двух порядочных, дополненная нормами и правилами (монотонность) одного влечет тривиальность другого?

2. Для двух независимых добропорядочных $\xi,\eta$, найдите образ отрезка $[0,1]$ при отображении $x\mapsto (\xi(x),\eta(x))$
3. Приведите пример двух независимых добропорядочных.

[DeBill]

Что-то, никого моя задача не заинтересовала. Otta грит: потому как формулировка дебильная...
Жаль - потому что факт неожиданный: такое обыденное понятие, как независимость, на поверку выходит очень даже нетривиальным. Так, в 2), образом отрезка будет весь квадрат. А в 3) - видимо, надо (можно) использовать кривую Пеано

[atlakatl]

Независимые случайные величины понимаются всегда в системе. Например, совокупность людей:
а) носящих или нет ключи на брелке;
б) занимающихся или нет физупражнениями;
в) болеющие или нет гриппом в этом сезоне.
Переменные а) и б, в) можно считать независимыми. А вот б) и в) как-то связаны, что можно выявить статметодами.
А что DeBill понимает под независимостью, рассматривая абстрактные вероятностные распределения?

[DeBill]

atlakatl
По определению, две случайных величины $\xi,\eta$ называются независимыми, если для любых (борелевских) множеств $B,C$ события $\{\xi \in B\}$ и $\{\eta \in C\}$ независимы

[atlakatl]

DeBill
В своём примере я продемонстрировал определение, Вами приведённое.
Вот как я понял часть условий:
$f(t)=-3t^2+4t$ - добропорядочная величина.
$g(t)=t^2+4/3t$ - порядочная величина.
Мы можем найти для них ковариацию, коэффициент корреляции. Но как определить, зависят ли они одна от другой?

[DeBill]

atlakatl
Ну, вообще то, они принимают значения, большие 1...
Но - не важно: зависимы они. Например, $\xi(x) >1$ при $\frac{1}{3}<x<1$, так что $P\{\xi >1\} =\frac{2}{3}$. $\frac{5}{9} < \eta (x) < \frac{7}{3}$ при тех же $x$, так что и $P\{\frac{5}{9} < \eta < \frac{7}{3}\} =\frac{2}{3}$ . Но события эти зависимы:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$ не равно $\frac{2}{3}$

-- 14.01.2018, 20:19 --

(Оффтоп)

Здесь мы пользуемся определением: события $A$ и $B$ -независимы - означает $P(AB)=P(A)P(B)$

[atlakatl]

DeBill в сообщении #1284019 писал(а):

они принимают значения, большие 1

А как иначе обеспечить полную единицу в интеграле?
Дальше сам почитаю. А то тут уже раздражённые комментарии в личку поехали.

[mihaild]

1. Рассмотрим прообразы всех отрезков относительно $\xi$ - это отрезки. Пусть $\varepsilon > 0$ - инфимум их длин. Возьмем отрезок $[a; b]$, прообразом которого является отрезок $[c; d]$ длиной меньше $\frac{3\varepsilon}{2}$. Возьмем $e = \sup x: \xi(x) \leqslant \frac{a+b}{2}$, возьмем отрезок $[c; \frac{c + e}{2}$] - его образом является какой-то отрезок $[a; f]$, где $f \leqslant \frac{a+b}{2}$. Прообразами $[a; f]$ и $[f; b]$ являются отрезки $[c; g]$ и $[g; d]$ для какого-то $g$ - длина хотя бы одного из них меньше $\frac{3\varepsilon}{4}$.
Таким образом, сколь угодно короткие отрезки бывают $\xi$-прообразами отрезков.
Если $\psi$ и $\xi$ независимы, то на каждом отрезке, являющимся $\xi$-прообразом отрезка, $\psi$ имеет "одинаковое распределение" - в частности оказывается в $\varepsilon$ окрестностях своих максимума и минимума. Но если $\psi$ непрерывна и при этом неконстантна на отрезке, то такого быть не может.

[mihaild]

Собственно тут от порядочности требовалось, чтобы в порожденной $\xi$ сигма-алгебре встречались множества положительной меры сколь угодно малого диаметра.

[DeBill]

mihaild в сообщении #1284269 писал(а):

Собственно тут от порядочности требовалось, чтобы в порожденной $\xi$ сигма-алгебре встречались множества положительной меры сколь угодно малого диаметра.

Ну да. И для непостоянной $\psi$ из независимости тогда сразу следует отсутствие ее равномерной непрерывности, ибо болтается она везде от максимума до минимума, да.

mihaild в сообщении #1284139 писал(а):

прообразы всех отрезков

Вот только это как то неаккуратно....

[mihaild]

DeBill в сообщении #1284339 писал(а):

Вот только это как то неаккуратно....

А что неаакуратного? Есть множество всех отрезков, можно посмотреть на прообраз каждого отрезка.

[DeBill]

Дык: $\varepsilon$ будет равно нулю...

[mihaild]

Да, согласен, нужны отрезки ненулевой длины (а лучше сразу непустые интервалы, еще чуть меньше возни будет).