2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 тетраэдр
Сообщение09.03.2008, 23:53 
В тетраэдр складного $ABCD$ на отрезке $BE$ соединяющим вершину $B$ с центром тяжести $E$ стены $ACD$ выбрали пункт $S$. Ведзонц, что угол $DSA$ прямой угол определи отношение $ES:SB$.

 
 
 
 
Сообщение09.03.2008, 23:57 
Аватара пользователя
 !  PAV:
maciek, официальными языками форума являются русский и английский (см. п. I-1-с правил). Просьба перевести свое сообщения и в дальнейшем писать на одном из официальных языков форума

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 00:04 
Извиняется, но я употреблял транслятора :roll:

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 00:19 
Аватара пользователя
По-русски это будет так:

В тетраэдре $ABCD$ на отрезке $BE$, соединяющем вершину $B$ с центром тяжести $E$ грани $ACD$, выбрали точку $S$. Известно, что $\angle DSA$ - прямой. Определить отношение $ES:SB$.


maciek, если Вы владеете английским, то лучше используйте его - Вас поймут.

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 17:23 
Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение11.03.2008, 09:38 
Аватара пользователя
Чтобы не путаться в буковках, я их переставлю.

В тетраэдре $ABCD$ на отрезке $DE$, соединяющем вершину $D$ с центром тяжести $E$ грани $ABC$, выбрали точку $S$.
Известно, что $\angle BSA$ - прямой. Определить отношение $ES:SD$.


Все рёбра тетраэдра считаем по единице. Выберем базис:
a=DA, b=DB, c=DC - загромождающие стрелки просто не ставлю.
Их попарные скалярные произведения равны по 1/2, то есть в матрице Грама G для них внедиагональные элементы по 1/2, а диагональные по 1.
Тогда $DE=\frac{a+b+c}{3}$
$DS=x(a+b+c)$
$SA=SD+DA=(1-x)a-xb-xc,$
$SB=SD+DB=-xa+(1-x)b-xc$,
то есть координатные строки векторов SB и SA в базисе a, b, c имеют вид:
$[SB]=(-x, \ 1-x, \ -x)$
$[SA]=(1-x, \ -x, \ -x)$.
Из $SB \perp SA$ получаем $[SB]G[SA]'=6x^2-4x+\frac{1}{2}=0$. Если было бы сказано, что S лежит не на отрезке DE, а на прямой DE, то корень $x=\frac{1}{2}$ давал бы ещё одно решение. Раз сказано, то он посторонний, остаётся x=1/6. Отсюда $|ES|=|SD|$.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group