СТО. Количество линеек в разных системах

[Uchitel'_istorii]

Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, задача 15.1 к вып. 2 (djvu) .

Условие:

Цитата:

15. 1. Используя формулы преобразований Лоренца, выразите $x , y , z и $t через $x' , y' , z' и $t'.

Пояснение условия:
$x , y , z - координаты точки в нештрихованной системе $S$;
$x' , y' , z' - координаты этой же точки в штрихованной системе $S'$, движущейся со скоростью $u$ относительно нештрихованной системы;
$t - время между двумя событиями в нештрихованной системе $S$;
$t'- время между этими же двумя событиями в штрихованной системе $S'$.


Решение:
Преобразования Лоренца даны в лекции 15:
\begin{equation} \begin{aligned} x'&=\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}},\\ y'&=y,\\[2ex] z'&=z,\\ t'&=\frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}, \end{aligned} \label{Eq:I:15:3} \end{equation}
Ответ получается из преобразований Лоренца, которые Фейнман привел в лекции, заменой относительной скорости $u на $-u:
\begin{aligned} x&=\frac{x'+ut'}{\sqrt{1-u^2/c^2}},\\ y&=y',\\[2ex] z&=z',\\ t&=\frac{t'+ux'/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. \end{aligned}
Отсюда видно , что формулы для коодинат $x, x'$ при $t=t'=0$ не отличаются. На мой взгляд это находится в проитворечии с наблюдаемым опытом с прикладыванием линеек, описанным в главе 15-5.

Возьмем рисунок 15-1

(Оффтоп)

. В момент времени $t= t' = 0 Мо в своей системе прикладывает линейку $x' раз, Джо в своей системе прикладывает линейку $x раз . Джо видит, что $x' > x. Другое количество линеек Мо уже не сможет приложить, т.к. эксперимент имеет один исход. Но с точки зрения Мо количество линеек больше у Джо. Не могу понять, как это возможно.

Не уверен, важно ли указывать, что точка $P$ движется с какой -то системой (если точка движется только в одной системе, то станет понятно, кто из наблюдателей движется, а это должно оставаться неизвестным).

Пояснение вопроса:
Пусть системы Джо $S и Мо $S' совпадают в момент $t=t'=0 и движутся относительно друг друга в направлении осей абсцисс со скоростью $u. У Джо и Мо есть линейки, которые выглядят, как метровые в собственной системе.
Для простоты примем {\sqrt{1-u^2/c^2}=0,5. Точка $P неподвижна в системе $S (система Джо). Координаты точки в системе $S $P(1;0;0). Джо приложил линейку 1 раз. Джо видит, что у Мо линейка укороченная и что Мо приложил линейку 2 раза. В это время Мо видит, что точка $P$ сместилась ближе к началу координат и теперь удалена от начала на 0,5 \text{м} , т.е. он прикладывает половину своей линейки. Пришли к парадоксу: Мо прикладывает одновременно 2 линейки и пол-линейки. Объясните, как разрешается этот парадокс.

Цитата:

Вопросы. Зачем тут вообще пп.1,2?

Вопрос о количестве линеек в двух системах возник после решения задачи 15.1 и получения овтета. Ответ получается из преобразований Лоренца, которые Фейнман привел в лекции, заменой относительной скорости $u на $-u. В данном случае "решение" и "получение ответа" -- это одно и то же.

Цитата:

Решение чего именно имеется в виду в п.4?

После решения задачи 15.1 и получения овтета из этого ответа следует, что и в системе Джо сокращаются расстояния по аналогичной формуле. Поэтому возник вопрос о наблюдаемом количестве линеек .

Цитата:

Вы не понимаете, откуда берется сокращение масштабов, не понимаете, откуда оно выводится, или еще что-то не понимаете?

Сокращение масштабов -- эффект, который должен быть , чтобы свет в интерферометре Майкельсона пришел в объектив в фазе во всех системах. Оно ниоткуда не выводится, а является эмпирическим фактом инвариантности всех законов природы относительно преобразований Лоренца.

Цитата:

Что именно должен был иллюстрировать рисунок в п.5?

Две, упомянутые в главе 15-5 лекции 15, системы и объект, до которого прикладывают линейки.

Цитата:

Зачем нужна точка из п.6 и почему про нее хочется что-то указывать или не указывать?

К этой точке прикладывают линейки Джо и Мо (Мик). Если точка неподвижна в нештрихованной системе, то ее положение в штрихованной системе будет смещаться к началу координат по мере увеличения относительной скорости между системами $u$. Если же точка $P$ неподвижна в штрихованной системе, то ее положение в штрихованной системе не будет меняться.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- сформулируйте задачу (а также ее решение) так, чтобы при прочтении сообщения для его понимания не требовалось после каждого второго слова лезть в Фейнмана.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Краткий конспект содержимого Вашего сообщения в данный момент выглядит так:
1) Надо решить задачу о выражении (набор букв) через (другой набор букв). Да, обозначения стандартные, но все же.
2) Решение (оно же ответ).
3) Начало пояснения Фейнмана из другого параграфа, относящееся к другому вопросу.
4) "После решения оказывается" (какого решения, чего?), "что линейки сокращаются в обоих системах".
5) Рассуждения о приложении линеек, которые, по-видимому, имеют некоторую связь с п.3, но сопровождаются рисунком опять-таки из другого параграфа (по сравнению с предыдущим).
6) Упоминание точки $P$.

Вопросы. Зачем тут вообще пп.1,2? Решение чего именно имеется в виду в п.4? Вы не понимаете, откуда берется сокращение масштабов, не понимаете, откуда оно выводится, или еще что-то не понимаете? Что именно должен был иллюстрировать рисунок в п.5? Зачем нужна точка из п.6 и почему про нее хочется что-то указывать или не указывать?

В общем, разберитесь с собственной логикой происходящего. И, вопреки совету, используйте русский перевод: на родном языке в любом случае читать проще, а имеющиеся у перевода недостатки станут существенными при куда более серьезном знании предмета.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 21.12.2017, 15:51 --

Теперь давайте разбираться с таким вопросом: Вы понимаете, откуда берется эффект сокращения масштабов? Это не просто следствие преобразований Лоренца, он появляется при реализации вполне конкретного алгоритма измерения расстояния. Какого именно?

[Walker_XXI]

Ну и чисто формально:

Uchitel'_istorii в сообщении #1276612 писал(а):

Отсюда видно , что формулы для коодинат $x, x'$ при $t=t'=0$ не отличаются. На мой взгляд это находится в проитворечии с наблюдаемым опытом с прикладыванием линеек

Вы видите, что в соответствии с теми же формулами (1) $t=t'$ только если $u=0$, что не противоречит опыту?

[Uchitel'_istorii]

Walker_XXI в сообщении #1277254 писал(а):

Вы видите, что в соответствии с теми же формулами (1) $t=t'$ только если $u=0$, что не противоречит опыту?

Джо и Мо сидят в начале координат систем $S и $S' соответственно. А то, что свет от конца линейки должен прийти им в глаз, мы тут не рассматриваем. Спешат или отстают только те часы , которые находятся на расстоянии. А часы в одной и той же точке только идут с разной скоростью, но в момент синхронизации они показывают одно время, т.е. $t=t'=0.

Pphantom в сообщении #1277219 писал(а):

Вы понимаете, откуда берется эффект сокращения масштабов?

Нет.

Цитата:

Это не просто следствие преобразований Лоренца, он появляется при реализации вполне конкретного алгоритма измерения расстояния. Какого именно?

Могу предположить, что это -- измерение расстояния, пройденного светом за какое-то время. Но у Вас тут же появятся вопросы, на которые я не смогу ответить.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1277347 писал(а):

Нет.

Uchitel'_istorii в сообщении #1277347 писал(а):

Могу предположить, что это -- измерение расстояния, пройденного светом за какое-то время. Но у Вас тут же появятся вопросы, на которые я не смогу ответить.

Понятно. Да, у Фейнмана это действительно описано (в этом месте) довольно невнятно.

Тогда задача. У Вас есть линейка, неподвижная в системе отсчета $K$ и имеющая координаты концов $x_1$ и $x_2$. Ее длина, очевидно, равна $l=x_2 - x_1$ (для определенности будем считать, что координата с большим индексом больше, чтобы модули не ставить). Теперь тем же способом (вычитая друг из друга координаты концов в один и тот же момент времени) Вы измеряете длину той же линейки в системе отсчета $K'$, в которой линейка (ну и система $K$ заодно) движется со скоростью $V$. Что получится? Как соотносятся между собой длины линейки $l$ и $l'$?

Второй вариант той же задачи. Та же линейка неподвижна в $K'$ и движется в $K$. Все остальное аналогично предыдущему. Сравните результаты с первым вариантом.

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1277368 писал(а):

Тогда задача. У Вас есть линейка, неподвижная в системе отсчета $K$ и имеющая координаты концов $x_1$ и $x_2$. Ее длина, очевидно, равна $l=x_2 - x_1$ (для определенности будем считать, что координата с большим индексом больше, чтобы модули не ставить). Теперь тем же способом (вычитая друг из друга координаты концов в один и тот же момент времени) Вы измеряете длину той же линейки в системе отсчета $K'$, в которой линейка (ну и система $K$ заодно) движется со скоростью $V$. Что получится?

Из $K'$ пространство будет выглядеть ужатым, следовательно
$x_2' = x_2 \sqrt{1-V^2/c^2} ;
$x_1' = x_1 \sqrt{1-V^2/c^2} ;
$x_2' - x_1' = (x_2 - x_1 )\sqrt{1-V^2/c^2} ;
$l' = l\sqrt{1-V^2/c^2} .

Цитата:

Второй вариант той же задачи. Та же линейка неподвижна в $K'$ и движется в $K$. Все остальное аналогично предыдущему. Сравните результаты с первым вариантом.

Аналогично 1-му случаю из $K$ пространство будет выглядеть ужатым, следовательно
$x_2 = x_2' \sqrt{1-V^2/c^2} ;
$x_1 = x_1' \sqrt{1-V^2/c^2} ;
$x_2 - x_1 = (x_2' - x_1' )\sqrt{1-V^2/c^2} ;
$l = l'\sqrt{1-V^2/c^2} .

[Pphantom]

М-да, не сработало... А почему пространство будет "выглядеть ужатым"? Откуда Вы это получили?

[Walker_XXI]

Uchitel'_istorii в сообщении #1277347 писал(а):

А часы в одной и той же точке только идут с разной скоростью, но в момент синхронизации они показывают одно время, т.е. $t=t'=0.

В таком случае, если координаты совпадают по условию (" часы в одной и той же точке"), то что вас смущает в совпадении и при расчёте по формулам?

[rustot]

Uchitel'_istorii в сообщении #1276612 писал(а):

$x , y , z - координаты точки в нештрихованной системе $S$;
$x' , y' , z' - координаты этой же точки в штрихованной системе $S'$, движущейся со скоростью $u$ относительно нештрихованной системы;
$t - время между двумя событиями в нештрихованной системе $S$;
$t'- время между этими же двумя событиями в штрихованной системе $S'$.

В преобразования лоренца нельзя подставлять время между событиями, $t$ в них это временная координата одного события, а не промежуток. А преобразовать "временной промежуток", то есть разность двух временных координат, можно следующим образом

$t_1' = \gamma(t_1 - x_1 v / c^2)$
$t_2' = \gamma(t_2 - x_2 v / c^2)$
$t_2' - t_1' = \gamma(t_2 - t_1) - \gamma(x_2 - x_1) v / c^2$

то есть временной промежуток после преобразования зависит не только от исходного временного промежутка между событиями но и от того где именно они произошли

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1277424 писал(а):

М-да, не сработало... А почему пространство будет "выглядеть ужатым"? Откуда Вы это получили?

Т.к. уравнения Максвелла Фейнман еще не дал, всё, что я могу, -- это доверять словам Фейнмана , что из уравнений Максвелла следует, что свет распространяется одинаково во всех направлениях и с одинаковой скоростью, не зависящей от скорости источника. Попытки объяснить эту независимость от скорости источника средой, как в случае звука, не нашли экспериментального подтверждения. Попытки переписать уравнения Максвелла, чтобы они не менялись при преобразованиях Галилея, также не нашли экспериментального подтверждения. В интерферометре Майкельсона с равными плечами свет возвращается в источник одновременно , но в движущейся системе свет движется по наклонным линиям, и единственный шанс ему прийти одновременно -- это ужатие пространства в направлении движения.

Walker_XXI в сообщении #1277609 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1277347 писал(а):

А часы в одной и той же точке только идут с разной скоростью, но в момент синхронизации они показывают одно время, т.е. $t=t'=0.

В таком случае, если координаты совпадают по условию (" часы в одной и той же точке"), то что вас смущает в совпадении и при расчёте по формулам?

О каком совпадении Вы говорите , я не понял.
Джо и Мо прикладывают линейки мгновенно, при этом находясь в координатах $x = 0, x' = 0 , t = 0 , t' = 0$. Им не надо никуда ходить, и не надо ждать пока свет куда-либо пройдет.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1277726 писал(а):

Т.к. уравнения Максвелла Фейнман еще не дал, всё, что я могу, -- это доверять словам Фейнмана , что из уравнений Максвелла следует, что свет распространяется одинаково во всех направлениях и с одинаковой скоростью, не зависящей от скорости источника.

Это Вы слишком глубоко копаете. У Вас уже есть преобразования Лоренца, из них нужный факт выводится.

Uchitel'_istorii в сообщении #1277726 писал(а):

но в движущейся системе свет движется по наклонным линиям, и единственный шанс ему прийти одновременно -- это ужатие пространства в направлении движения.

Кстати, этого недостаточно. Такое объяснение предлагалось Лоренцем, но оно не решает проблему интерферометра Майкельсона полностью, а лишь делает эффект достаточно маленьким для того, чтобы его нельзя было обнаружить в конце XIX - начале XX веков (сейчас уже можно было бы).

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1277368 писал(а):

линейка, неподвижная в системе отсчета $K$ и имеющая координаты концов $x_1$ и $x_2$. Ее длина, очевидно, равна $l=x_2 - x_1$ (для определенности будем считать, что координата с большим индексом больше, чтобы модули не ставить). Теперь тем же способом (вычитая друг из друга координаты концов в один и тот же момент времени) Вы измеряете длину той же линейки в системе отсчета $K'$, в которой линейка (ну и система $K$ заодно) движется со скоростью $V$.

Замеры $x_1 , x_2 получены в момент времени $t_0.
Из решения задачи 15.1:
$x_1' = \tfrac{x_1+Vt_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}}
$x_2' = \tfrac{x_2+Vt_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}}
$t_1' = \tfrac{t_0+Vx_1/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}
$t_2' = \tfrac{t_0+Vx_2/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}

Т.к.$t_2'>t_1', нужно найти $x_2' при $t_1' или $x_1' при $t_2'. За время $t_2' - t_1' система $K'$ улетит в отрицательном направлении оси $x' на $V(t_2' - t_1'), следовательно $x_{1, \text{ at } t_2'}' = x_1' + V(t_2' - t_1').

$l' = x_2' - x_{1, \text{ at } t_2'}' = \tfrac{x_2+Vt_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}} - \tfrac{x_1+Vt_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}} - V(t_2' - t_1') = (x_2 - x_1)\sqrt{1-V^2/c^2} = l \sqrt{1-V^2/c^2}

Цитата:

Второй вариант той же задачи. Та же линейка неподвижна в $K'$ и движется в $K$. Все остальное аналогично предыдущему. Сравните результаты с первым вариантом.

$K'$ движется относительно $K$ со скоростью $-V.
Из преобразований Лоренца:
$x_1' = \tfrac{x_1+Vt_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}}
$x_2' = \tfrac{x_2+Vt_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}}
В $K'$: $ x_1' = \text{const}_1, x_2' = \text{const}_2.
$l'=x_2' - x_1' = \tfrac{x_2+Vt_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}} - \tfrac{x_1+Vt_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}} = \tfrac{x_2 - x_1}{\sqrt{1-V^2/c^2}} = \tfrac{l}{\sqrt{1-V^2/c^2}}


Но поставленный мой вопрос подпадает полностью под 2-й случай. Джо с точкой $P$ и своей одной линейкой смотрит на Мо с двумя линейками, Джо получает координаты концов линеек Мо. Через преобразования Лоренца Джо находит координаты в системе Мо. Они оказываются в 2 раза больше, а значит , чтобы они уместились , надо 2 линейки , как и должно быть. Мо в свою очередь видит Джо с одной линейкой и точкой $P$. Мо снимает коодринату конца линейки Джо (она же коодрината точки $P$, равная 0.5 \text{м}), переводит координату в координату в системе Джо. Она оказывается в 2 раза больше , чем его коодрината, как и должно быть.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1278143 писал(а):

Но поставленный мой вопрос подпадает полностью под 2-й случай.

На самом деле под оба. Теперь Вы честно вывели "сокращение масштабов", и видите (надеюсь), какое условие необходимо для того, чтобы им можно было пользоваться: координаты концов линейки должны измеряться в один и тот же (для данной ИСО!) момент времени. С покоящейся линейкой это не обязательно, поскольку ее концы со временем свои координаты не меняют. В результате несложно заметить, что движущаяся линейка всегда будет короче покоящейся, причем эта ситуация будет одинаковой во всех ИСО (они же равноправны, так что странно было бы ожидать чего-то другого).

Ну а теперь посмотрите, что измеряют Джо и Мо в каждом из случаев.