Максимум максиморум и минимум миниморум функции

[Altemirx]

Здравствуйте, уважаемые!
Помогите с решением следующей задачи:
Есть функция:
$x(Fadc,T,f)=\sqrt{\frac{\sum\limits_{n=0}^{Fadc\cdot T-1}\left[ \sin (2\cdot \pi \cdot f\cdot \frac{n}{Fadc} )\right] ^{2} }{Fadc\cdot T} } $
у которой аргументы Fadc, T и f могут изменяться в некотором диапазоне (Fadc=4500…5500, T=0.3…0.5, f=20…400) необходимо:
1. для этой функции найти максимум максиморум и минимум миниморум при указанном диапазоне изменения аргументов;
2. получить функцию y(f), по которой можно было бы найти также максимум максиморум и минимум миниморум для конкретного значения f (диапазон для Fadc и T остаётся прежним)
Решение задачи желательно применительно к пакету MathCad. Спасибо

[нг]

Altemirx
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка). Использование картинок вместо формул не допускается.

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС). Пожалуйста, проверьте также и укажите в ЛС, в какой из разделов должна быть помещена задача (Помогите решить / разобраться или Околонаучный софт — в зависимости от того, что вызывает у Вас затруднения, математическая сущность задачи или интерфейс пакета).

[нг]

Сумма под корнем считается явно:
$\sum\limits_{n=0}^{m} \sin^2(\pi a n) = \frac12(m-(-1)^{a m} \cos(\pi a m)+\sin^2(\pi a m))$, если $a \in {\mathbb N}$,
и $\sum\limits_{n=0}^{m} \sin^2(\pi a n) = \frac12(m+1-\frac{\cos(\pi a m) \sin(\pi a (m+1))}{\sin(\pi a)})$ в противном случае.

[Altemirx]

нг
К сожалению, проблема не в подсчёте суммы, а именно в нахождении максимума максиморума и минимума миниморума при диапазонном изменении аргументов...

[Gafield]

Во первых, корень можно убрать. Во вторых, эта функция фактически зависит от двух параметров. Обозначив $a=f/F_{adc}=20/5500...400/4500$, $b=F_{adc} T=4500*0.3...5500*0.5$ можно записать ее в виде $b^{-1}\sum_{n=0}^{b-1} \sin^2(2\pi n a)=\frac{2 b+\csc (2 a \pi ) \sin (2 a (1-2 b) \pi )-1}{4 b}$. Если для каких-то $f,F_{adc},T$ функция имеет экстремум, то и для $\alpha f,\alpha F_{adc},\alpha^{-1} T$ будет то же значение (если все аргументы из нужных интервалов).
Как видно из явной формулы, результат будет мало отличаться от 1/2 при больших $b$. Функция NMinimize в Mathematica дает для написанной выше суммы глобальный минимум, равный 0.4938098073973287 при a=0.00490851220752496, b=1350.001451969083; глобальный максимум, равный 0.50726313052888 при a=2/550, b=1350.

ЗЫ Конечно, локальных экстремумов там много. Если построить график для проверки, то приведенный выше результат похож на правду.

[Altemirx]

Gafield
Вам большое спасибо за точный, полный и развёрнутый ответ, а также за решение задачи в общем виде и с конкретными значениями! Исследую полученную функцию, всё выглядит должным образом.

[bot]

С виду ещё до ответов подозревал обычную задачу на экстремум - остановили максиморумы и миниморумы, а теперь и из ответов видно. Откуда эти термины?

[Алексей К.]

bot писал(а):

Откуда эти термины?

После лекций (видимо, по матану, и не 1 десяток лет назад) мне в математике эти термины более не попадались. Трактовка исходит из дословного первода с латыни ---- типа наименьший из минимумов.
Последнее (minimum minimorum) гораздо чаще встречается в значении "необходимый минимум" (знаний по Windows, например).

[незваный гость]

Это архаичное название глобальных экстремумов. Сейчас так, действительно, не говорят.

[bot]

незваный гость писал(а):

Это архаичное название глобальных экстремумов.

Как приятно ощутить себя молодым и зелёным.