Форма записи рядов Фурье

[e2e4]

Общий вид ряда Фурье для непрерывного сигнала произвольного периода имеет вид:
$f(x) = \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos{\dfrac{\pi nx}{l}} + b_n\sin{\dfrac{\pi nx}{l}}\right)$
По формуле суммы синуса и косинуса равных углов:
$P\sin{\alpha} + Q\cos{\alpha} = \sqrt{P^2 + Q^2}\sin{\left(\alpha + \arctan{\dfrac{Q}{P}}\right)}$

Отсюда получаем:
$f(x) = \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \sin{\left(\dfrac{\pi nx}{l} + \arctan{\dfrac{a_n}{b_n}}\right)} \right)$

Два вопроса:
1. Формула суммы синуса и косинуса равных углов верна в предположении $Q \geq 0$. Будет ли верным записанное мной последнее равенство во всех случаях?
2. Почему общий вид ряда Фурье канонически записывается и анализируется так, как я записал в первой формуле, хотя вторая форма записи вроде бы удобнее, т.к. содержит одну тригонометрическую функцию и сдвиг фазы для данной гармоники в явном виде?

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

Формула суммы синуса и косинуса равных углов верна в предположении $Q \geq 0$. Будет ли верным записанное мной последнее равенство во всех случаях?

Сама формула верна при любых значениях коэффициентов P , Q , лишь бы оба они не равнялись нулю одновременно, а вот вспомогательный угол не всегда можно найти по ф-ле

\[arctg\frac{Q}{P}\]

.

e2e4 писал(а):

2. Почему общий вид ряда Фурье канонически записывается и анализируется так, как я записал в первой формуле, хотя вторая форма записи вроде бы удобнее, т.к. содержит одну тригонометрическую функцию и сдвиг фазы для данной гармоники в явном виде?

Рассуждения с таким рядом гораздо удобнее проводить, когда он записан в исходном виде, без указания сдвига фаз.

[e2e4]

Brukvalub писал(а):

e2e4 писал(а):

Формула суммы синуса и косинуса равных углов верна в предположении $Q \geq 0$. Будет ли верным записанное мной последнее равенство во всех случаях?

Сама формула верна при любых значениях коэффициентов P , Q , лишь бы оба они не равнялись нулю одновременно, а вот вспомогательный угол не всегда можно найти по ф-ле

\[arctg\frac{Q}{P}\]

.

Да, конечно. Но я имел ввиду запись вспомогательного угла именно с помощью арктангенса отношения амплитуды косинусной составляющей к амплитуде синусной составляющей. Почему-то мне кажется, что в случае рядов Фурье достаточно именно этого представления, за исключением $b_n = 0$, но эту особую точку можно рассматривать отдельно. Чтобы самому не доказывать, может быть кто-то уже знает - верно мое предположение или нет?

Brukvalub писал(а):

e2e4 писал(а):

2. Почему общий вид ряда Фурье канонически записывается и анализируется так, как я записал в первой формуле, хотя вторая форма записи вроде бы удобнее, т.к. содержит одну тригонометрическую функцию и сдвиг фазы для данной гармоники в явном виде?

Рассуждения с таким рядом гораздо удобнее проводить, когда он записан в исходном виде, без указания сдвига фаз.

К сожалению, я не работал теоретически с рядами Фурье, подскажите пожалуйста пару-тройку примеров, когда первая запись оказывается выгодней второй? Мне при измерении сигналов удобнее иметь амплитуду и фазу гармоник в явном виде. Объясню, почему возник вопрос: в данный момент я пишу некоторую статью, и в данный момент стою перед выбором - какую форму записи рядов выбрать. Эта запись пойдет дальше по тексту везде, не хотелось бы потом исправлять десятки страниц.

[Someone]

Вы можете написать

$$f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}l+b_n\sin\frac{\pi nx}l\right)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_n^2+b_n^2}\sin\left(\frac{\pi nx}l+\varphi_n\right)\text{,}$$

где $\varphi_n}$ определяется условиями

$$\begin{cases}\sin\varphi_n=\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\text{,}\\ \cos\varphi_n=\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\text{,}\end{cases}$$

откуда можно найти

$$\varphi_n=\begin{cases}\arccos\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\text{ при }a_n\geqslant 0\text{,}\\ \pi+\arccos\frac{-b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\text{ при }a_n\leqslant 0\text{.}\end{cases}$$

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

К сожалению, я не работал теоретически с рядами Фурье, подскажите пожалуйста пару-тройку примеров, когда первая запись оказывается выгодней второй?

Да практически везде. Дело в том, что классическая тригонометрическая система при правильной нормировке является ортонормированной. Это сохраняет при работе с ней практически все преимущества, которые имеет работа с ортонормированной системой в конечномерном эвклидовом пространстве. Вы же,. записав ее по-своему, теряете свойство ортогональности слагаемых, теряются наработанные схемы доказательства поточечных признаков сходимости, в общем, для теоретического изучения рядов все становится нехорошо. Но, если Вы в своей статье будете лишь использовать готовые, уже известные результаты, а не доказывать новые, то и удобная для Вас запись дела испортить не должна.

[e2e4]

Someone, Brukvalub, спасибо за помощь - есть пища для размышлений.

[AD]

Запись "в форме e2e4" не так давно видел в доказательстве теорем Данжуа--Лузина (если тригонометрический ряд сходится абсолютно на множестве положительной меры, то ряд из его коэффициентов сходится) и Кантора--Лебега (если тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю) --- там она удачно пригодилась.