Предел

[arqady]

Помогите, пожалуйста, понять, что непонятно в моём решении.
Я там под своим настоящим именем: Michael Rozenberg. Спасибо!

[grizzly]

arqady
Проверьте, пожалуйста, ссылку. По этой ссылке Вы вообще не упомянуты.

[arqady]

Они удалили моё решение. Только участники с высоким рейтингом могут его видеть.
Вот оно:

$$\lim_{x\rightarrow0}\left(\ln(x+e)\right)^{\cot{x}}=\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\ln(x+e)-1\right)^{\frac{1}{\ln(x+e)-1}\cdot\frac{1}{e}\frac{\ln\left(1+\frac{x}{e}\right)}{\frac{x}{e}}\cdot\frac{x}{\tan{x}}}=$$

$$\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{1}{e}\frac{\ln\left(1+\frac{x}{e}\right)}{\frac{x}{e}}\cdot\frac{x}{\tan{x}}\ln\left(1+\ln(x+e)-1\right)^{\frac{1}{\ln(x+e)-1}}}=$$

$$e^{\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{e}\frac{\ln\left(1+\frac{x}{e}\right)}{\frac{x}{e}}\cdot\frac{x}{\tan{x}}\ln\left(1+\ln(x+e)-1\right)^{\frac{1}{\ln(x+e)-1}}\right)}=$$

$$=e^{\frac{1}{e}\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\frac{\ln\left(1+\frac{x}{e}\right)}{\frac{x}{e}}\cdot\frac{x}{\tan{x}}\cdot1\right)}=e^{\frac{1}{e}}$$

I used the following fact.

Let there is $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$ and $f$ is a continuous function in $g(a).$

Thus,

$$\lim_{x\rightarrow a}f(g(x))=f\left(\lim_{x\rightarrow a}g(x)\right).$$

[grizzly]

arqady
С первой строчкой всё ясно. А со второй мне непонятно, зачем было усложнять дальше. Или я не въехал в идею. Почему нельзя было после первой строчки просто закончить так:

$$ =\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{1}{e}\frac{\ln\left(1+\frac{x}{e}\right)}{\frac{x}{e}}\cdot\frac{x}{\tan{x}}} =e^{\frac{1}{e}\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\ln\left(1+\frac{x}{e}\right)}{\frac{x}{e}}\cdot\frac{x}{\tan{x}}}=e^\frac{1}{e} $$

-- 17.12.2017, 18:04 --

Не знаю, нужно ли здесь как-то оговаривать, что происходит при $x$, стремящемся к 0 с разных сторон, или это считается очевидным / известным:

$$\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\ln(x+e)-1\right)^{\frac{1}{\ln(x+e)-1}}=e$$

[arqady]

grizzly

Я так и написал вначале, думая что это очевидно. Меня попросили объясить, откуда в основании появляется $e$, и я добавил этот шаг.

Тут мы пользуемся следующим утверждением.
Если $f(x)>0$, существует $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)>0$ и существует $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$ то поскольку $\ln$ и $e^x$ непрерывные функции, получаем:

$$\lim_{x\rightarrow a}f^g=\lim\limits_{x\rightarrow a}e^{g\ln f}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left(g\ln{f}\right)}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow a}g\ln\lim\limits_{x\rightarrow a}f}=\left(\lim_{x\rightarrow a}f\right)^{\lim\limits_{x\rightarrow a}g}.$$

[grizzly]

arqady
Да, это понятно. Тогда я не знаю, что не так. Не могу сказать, что это решение читается по диагонали, но совсем не трудно проследить, откуда берутся все составляющие. Единственно, со стороны это может казаться каким-то трюком, а не стандартным приёмом -- со старта (мне) не очевидно, как догадаться, почему именно такие составляющие нужно выделять. Но ведь и трюки в математике не запрещены, скорее наоборот.

[arqady]

grizzly

Всё тут основано на определении $e$ и том что $\ln(x+e)-1\rightarrow0$ при $x\rightarrow0.$
Постарался объяснить, но видимо посчитали, что это бред и удалили.