2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мы едем, едем, едем
Сообщение16.12.2017, 19:00 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Рассматривается движение точечного тела. За некоторое время интеграл от модуля проекции его вектора скорости на ось абсцисс
достиг значения $X$. Аналогично для двух других осей эти интегралы за то же время оказались равными $Y$, $Z$.
Каков минимум и максимум возможного пройденного пути?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение16.12.2017, 20:06 
Аватара пользователя


27/02/12
3706
Я, наверное, чего-то не понял...
Минимум - $\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ -
движение по прямой в одном направлении.
Максимум - не ограничен.

-- 16.12.2017, 20:04 --

miflin в сообщении #1275478 писал(а):
Я, наверное, чего-то не понял...

Да, ответил впопыхах. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение16.12.2017, 21:28 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Я-то как раз сначала понял (скорее, почувствовал), чему равен максимум. Ведь $X,Y,Z$ - заданы.
А вот в одном направлении - это избыточное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение16.12.2017, 21:47 
Заслуженный участник


20/08/14
11057
Россия, Москва
Мне кажется путь может быть любым от $\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ до $(X+Y+Z)$ (при этом $X,Y,Z \ge 0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение16.12.2017, 22:04 
Аватара пользователя


27/02/12
3706
$ S_{max}=X+Y+Z$ в том случае, если участки траектории параллельны координатным осям. Вроде так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение16.12.2017, 23:56 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Да. И, понятно, таких существует бесконечно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение17.12.2017, 11:33 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Докажем нижнюю оценку.
Пусть $a, b, c$ — направляющие косинусы вектора скорости, т.е. такие числа, что $v_x=av, v_y=bv, v_z=cv, a^2+b^2+c^2=1$.
$X=\int\limits_0^T |v_x|dt=\int\limits_0^T |a|vdt=\int\limits_0^S |a|ds$
Используем интегральное неравенство Коши-Буняковского:
$X^2=\left(\int\limits_0^S 1|a|ds\right)^2\leqslant \int\limits_0^S 1^2 ds \int\limits_0^S |a|^2 ds =S\int\limits_0^S a^2 ds$
Аналогично для $Y^2$ и $Z^2$.
Тогда
$X^2+Y^2+Z^2\leqslant S\int\limits_0^S (a^2+b^2+c^2) ds=S^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение17.12.2017, 14:18 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
А я вариации считал, условный минимум находил)).
Кстати, можно ещё вот такую формулировку предложить. Находим точку - проекцию тела на, например, горизонтальную плоскость.
А вторая точка - его проекция на вертикальную ось. Допустим, пути, пройденные этими спроецированными точками, равны $L_{xy}$ и $L_z$.
Вопрос остаётся тем же: границы для возможного пути, пройденного телом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение18.12.2017, 15:42 
Аватара пользователя


27/02/12
3706
Вслед ушедшему поезду. :-)
Как-то так получилось, что я, невнимательно прочитав условие, принял $X, Y, Z$ за конечные координаты точки
и написал глупость во втором посте темы.
Потом, когда рассмотрел повнимательнее, пришел к такому же выводу, что и Dmitriy40:
Dmitriy40 в сообщении #1275516 писал(а):
Мне кажется путь может быть любым от $\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ до $(X+Y+Z)$ (при этом $X,Y,Z \ge 0$).

К этому выводу я пришел, решая задачу "на коленке", т.е. из некоторых визуальных геометрических представлений.

А именно.

Рассмотрим путь из одной вершины параллелепипеда (с ребрами $X,Y,Z$) к противоположной.
Кратчайший путь - по прямой (диагонали параллелепипеда) - $S_{min}=\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$.
Наибольший путь - по ребрам параллелепипеда - $S_{max}=X+Y+Z$.

При этом я понимал, что строгое решение задачи - аналитическое.
В связи с этим хотелось бы узнать о моментах в "параллелепипедном решении", которые могут "сбить с пути истинного".

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение18.12.2017, 17:37 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Допустим, есть муха, которую согнали с места, она кружила по комнате минуту и села на то же место. Интегралы $X, Y, Z$, тем не менее, ненулевые. Берём параллелепипед со сторонами $X, Y, Z$ — он будет уже размером с дом. Каким будет кратчайший путь между противоположными вершинами в этом параллелепипеде — понятно. А вот какое отношение это имеет к исходному движению мухи — надо объяснить хоть в двух словах. Типа: рассмотрим другое движение мухи, которое получается заменой всех проекций скоростей их модулями. Такая замена не повлияет ни на $X, Y, Z$, ни на $S$. Но при таком движении, если муха стартовала из точки $(0,0,0)$, она в конце окажется в точке $(X, Y, Z)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение18.12.2017, 18:26 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Красивая идея - с параллелепипедом, в совокупности с модулями мгновенных скоростей.
А почему молчание по поводу другой постановки, когда известны два пути - по горизонтальной плоскости, и по вертикальной оси?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение19.12.2017, 15:18 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
dovlato в сообщении #1276061 писал(а):
А почему молчание по поводу другой постановки, когда известны два пути - по горизонтальной плоскости, и по вертикальной оси?
Она сводится к исходной задаче в двумерном варианте.

Возьмём второе тело. Величины, которые относятся к нему, будем помечать тильдой. Считаем, что оба тела одновременно начинают своё движение из точки $(0,0,0).$ Пусть в каждый момент проекции скоростей второго тела так связаны с проекциями скоростей первого:
$\tilde v_x=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$
$\tilde v_y=0$
$\tilde v_z=|v_z|$
То есть второе тело движется в плоскости $xOz$.

Тогда
$\begin{array}{l}\tilde X=\int\limits_0^T |\tilde v_x|dt=\int\limits_0^T \sqrt{v_x^2+v_y^2}\,dt = L_{xy}\\\tilde Z=\int\limits_0^T |\tilde v_z| dt=\int\limits_0^T |v_z| dt=L_z\\\tilde S=\int\limits_0^T \sqrt{\tilde v_x^2+\tilde v_z^2}\,dt=\int\limits_0^T \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} \,dt=S\end{array}$

Значит, для каждого движения первого тела с некоторыми $L_{xy}, L_z, S$ существует такое движение второго тела, что $\tilde X=L_{xy}, \tilde Z=L_z, \tilde S=S.$ Верно и обратное (очевидно: заставим первое тело двигаться как второе). Поэтому при заданных $L_{xy}, L_z$ для первого тела получаем тот же максимальный и минимальный путь, что и при заданных $\tilde X=L_{xy}, \tilde Z=L_z$ для второго тела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мы едем, едем, едем
Сообщение19.12.2017, 19:56 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Я тоже так думаю. Хотя до строгого обоснования не дошёл.
Думаю, эта задача естественно обобщается на (евклидовы) пространства произвольной размерности.
А именно, пусть такое пространство разбито на взаимно ортогональные подпространства. И нам известны пути $L_1, L_2, ...,L_m$,
пройденные спроецированными точками в них. Тогда полный пройденный путь $L$ заключён в пределах$$\sqrt\left{L_1^2+...+L_m^2\right}\le L\le L_1+...+L_m$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group