2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Решить ДУ операторным методом
Сообщение15.12.2017, 16:37 
Имеется ДУ следующего вида:
$y'''-y''=4x^2-3x+2$
Необходимо решить его используя операторный метод.
На практике рассматривали случай, когда правая часть была квазиполиномом.
В этом примере не так. Не знаю как решать, никакую литературу по этой теме найти не могу.

Отрывок из теории с практики:
$y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_1y'+a_0y=f(x)$
$[D^n+...+a_1D+a_0]y=f(x)$
$L(D)y=f(x)$
и т.д.

На своем примере я получил следующее
$D^3-D^2=0$
$D^2(D-1)=0$
$\sigma=\{0,1\}$ - спектр
$y_1=1$
$y_2=x$
$y_3=e^x$
$y^o=c_1+c_2x+c_3e^x$

А что дальше делать, как искать частное решение не знаю.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение15.12.2017, 17:25 
Аватара пользователя
1) К обеим частям дифференциального уравнения относительно $y(x)$ примените преобразование Лапласа.
У Вас получится уравнение относительно изображения $Y(s)$, уже не дифференциальное, а алгебраическое.
2) Решите его: $Y(s)=...$
3) Для правой части восстановите оригинал с помощью свойств преобразования Лапласа и/или таблиц (в данном случае хватит элементарных свойств). Он будет равен оригиналу левой части, т.е. $y(x)$.
hiraev в сообщении #1275108 писал(а):
никакую литературу по этой теме найти не могу
По операционному исчислению? :shock:
hiraev в сообщении #1275108 писал(а):
как искать частное решение не знаю
Вы тут всегда получаете частное решение — в том смысле, что у Вас нет произвольных констант, которые надо (или не надо) определять из начальных условий. «Всё уже включено», и начальные условия явно входят в решение.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение15.12.2017, 20:26 
hiraev в сообщении #1275108 писал(а):
$\sigma=\{0,1\}$ - спектр
$y_1=1$
$y_2=x$
$y_3=e^x$
$y^o=c_1+c_2x+c_3e^x$

Спектр тут не при чём.

svv в сообщении #1275123 писал(а):
«Всё уже включено», и начальные условия явно входят в решение.

В стартовом посте не входят. Соответственно, входят именно произвольные постоянные (в виде произвольных начальных условий).

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение15.12.2017, 21:38 
Аватара пользователя
Можно и так сказать.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение15.12.2017, 23:34 
То есть операторный метод здесь не применим?

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение15.12.2017, 23:48 
Аватара пользователя
Замечательно применим. Если, составляя изображения производных, не считать начальные данные нулевыми и не заменять правую часть нулём. Вам же написали:
svv в сообщении #1275123 писал(а):
1) К обеим частям дифференциального уравнения относительно $y(x)$ примените преобразование Лапласа.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение16.12.2017, 00:45 
Аватара пользователя
Судя по стартовому посту ТС, тут не об операционном исчислении речь, а об обращении оператора $\mathbf L = \sum a_n \dfrac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}$, там какую-то науку рассказывали на матане и нам тоже, но настолько скомканно и быстро, что я ничего не помню. У меня тоже была проблема, что я не мог найти литературу про операторный метод, но забил; о преобразовании Лапласа речь, очевидно, не велась.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение16.12.2017, 00:50 
StaticZero
Вы все правильно поняли)

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение16.12.2017, 00:59 
StaticZero в сообщении #1275267 писал(а):
а об обращении оператора $\mathbf L = \sum a_n \dfrac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}$, там какую-то науку рассказывали на матане и нам тоже, но настолько скомканно и быстро, что я ничего не помню.

А там нет никакой серьёзной науки. В том смысле, что говорить об операторах, об их областях определения и множествах значений применительно к операционному исчислению -- это не пришей кобыле хвост. Там просто гоняние полезных формулок.

Во всяком случае, если речь о втором семестре, к которому в стандартном режиме операционное исчисление (в минимально необходимом объёме) обычно и пристёгивается.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение16.12.2017, 01:00 
Аватара пользователя
hiraev в сообщении #1275108 писал(а):
никакую литературу по этой теме найти не могу.
Судя по всему, см. В.И. Смирнов. Курс высшей математики, т.2, гл. 2, пар.3, п.38 "Символический метод", стр. 106 по изданию 1974 года.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение16.12.2017, 01:07 
ну уж если о ссылках, то классикой принято считать Араманович, Лунц, Эльсгольц (сам я их не читал, но так принято).

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение16.12.2017, 01:10 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1275271 писал(а):
к операционному исчислению

Так нет здесь никакого операционного исчисления. Есть оператор — линейная комбинация производных, который нужно обратить. amon уже указал название обсуждаемого метода такое, что оно не сбивает с толку и не пристёгивает сюда Лапласа.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение16.12.2017, 01:26 
StaticZero в сообщении #1275275 писал(а):
линейная комбинация производных, который нужно обратить.

что невозможно без допоговорок

StaticZero в сообщении #1275275 писал(а):
что оно не сбивает с толку и не пристёгивает сюда Лапласа

Это, видимо, не тот Лаплас, которого Вы имели в виду. Лапласов вообще-то жутко много, и все они едины в одном лице. И вот один из них -- ровно тут. И ровно тут он преобразованием и обзывается.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение16.12.2017, 01:33 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1275277 писал(а):
преобразованием и обзывается.

Здесь в теме два отличных друг от друга заслуженных участника помянули того Лапласа, который $\int \limits_0^\infty e^{-pt} f(t) \ \mathrm dt$. Если вы не являетесь в этом множестве третьим элементом, тогда прошу прощения.

 
 
 
 Re: Решить ДУ операторным методом
Сообщение16.12.2017, 01:42 

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1275278 писал(а):
ewert в сообщении #1275277 писал(а):
преобразованием и обзывается.

Здесь в теме два отличных друг от друга заслуженных участника помянули того Лапласа, который $\int \limits_0^\infty e^{-pt} f(t) \ \mathrm dt$. Если вы не являетесь в этом множестве третьим элементом, тогда прошу прощения.

Я не могу являться третьим элементом в множестве, состоящем из двух уже заданных (хотя и не помню, каких). А так -- являюсь, безусловно. Ровно в этом смысле преобразование Лапласа и есть операционное исчисление, не больше и не меньше.

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group