Помогите подобрать конструкцию.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток!
В ходе своей работы мне пришлось столкнуться с следующими объектами:
Пусть $M_1, M_2, \dots M_n$ - набор равномощных конечных множеств, рассматриваются n-ки инъективных отображений: $(f_1, f_2 \dots f_n)$, $f_i: M_i \to \left\lbrace 1, ..., N\right\rbrace$, где $N-1$ - мощность множеств $M_i$.
И пусть $F$ - множество всех таких $n$-нок инъективных отображений, нужно как то красиво записать группу $Sym(F)$, то есть группу всех перестановок множества $F$, желательно в терминах групп перестановок множеств $M_i$, вообще можно ли как-то элегантно и удобно для работы представить данную группу?

[maxal]

Зафисируем биекции $g_i$ из $M_i$ во множество $[N-1]=\{1,2,\dots,N-1\}$.

Тогда $\textrm{Symm}(F)$ изоморфна прямой степени симметрической группы $S_{N}^{\times n}$. При этом изоморфизм строится так:

$$(f_1,\dots,f_n)\mapsto (\pi_1,\dots,\pi_n),$$

где $\pi_i(k) = g_i(f_i(g_i^{-1}(k)))$ для $k\in [N-1]$ и $\pi_i(N)=s$, где $\{s\}=[N]\setminus f_i(M_i)$.