2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2  След.
 
 Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение11.12.2017, 18:35 


11/12/17

6
Известно решение теоремы Ферма $x^n + y^n = z^n$ при $n = 2$
$x^2 + y^2 = z^2$
Старое решение:
Минимальные пифагоровы тойки:
$x = 2 k m ; y = k^2 - m^2 ; z = k^2 + m^2$, где $ k , m$ - взаимно простые числа различной четности.
Новое решение:
Минимальные пифагоровы тойки:
$x = i j ; y = ( i^2 - j^2) / 2 ; z = ( i^2 + j^2 ) / 2$, где $ i , j$ - взаимно простые нечетные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение11.12.2017, 18:38 


21/05/16
4292
Аделаида
Это одно и тоже решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение11.12.2017, 18:41 


11/12/17

6
А иначе и быть не могло.
Но второе решение встречается очень редко.
Это не моя заслуга.
Многие об этом не знают.
Пусть узнают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение11.12.2017, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Fermatik44 в сообщении #1274060 писал(а):
Но второе решение встречается очень редко.
Не так уж редко -- на каждом компьютере, где есть доступ в Википедию :) Но да, иногда удобнее пользоваться таким представлением. Вы бы хоть доказали, что любая стандартная тройка встретится здесь и наоборот, чтоб не зря тему создавать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение11.12.2017, 20:01 


11/12/17

6
Лови формулы перехода.
$i = k + m , j = k - m$
$k = ( i - j ) / 2 , m = ( i - j ) / 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение11.12.2017, 21:21 


21/11/10
546
Fermatik44 в сообщении #1274087 писал(а):
Лови формулы перехода.

Fermatik44
Лови новое уравнение Ферма для $n=2$
$$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$$
Решения выскакивают самым естественным образом:)
$z-x=2p^2$
$z-y=q^2$
$x+y-z=2pq$

$z=2p^2+q^2+2pq$
$x=q^2+2pq$
$y=2p^2+2pq$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение12.12.2017, 08:41 


21/09/16
46
Вот еще новые формулы для уравнения $x^2+y^2=z^2$ :

$z=k_1(k^4+4)$

$x=k_1(k^4-2k^2-4k)$ или $x=k_1(k^4-2k^2+4k)$

$y=k_1(4-2k^2-2k^3)$ или $y=k_1(4-2k^2+2k^3)$

-- 12.12.2017, 09:03 --

И еще формулы:

$x=k_1(4-(k^2-2)^2)$

$y=k_1(4+2(k^2-2)+(-2k)(k^2-2))$ или $y=k_1(4+2(k^2-2)-(-2k)(k^2-2))$

$ z=k_1(-2(k^2-2)+4k-(k^2-2)^2)$ или $z=k_1(-2(k^2-2)-4k-(k^2-2)^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение12.12.2017, 12:36 


26/08/11
2057
nimepe в сообщении #1274277 писал(а):
Вот еще новые формулы для уравнения $x^2+y^2=z^2$ :

$z=k_1(k^4+4)$

$x=k_1(k^4-2k^2-4k)$ или $x=k_1(k^4-2k^2+4k)$

$y=k_1(4-2k^2-2k^3)$ или $y=k_1(4-2k^2+2k^3)$
А вам не кажется, что кроме общего множителя $k_1$ (кстати, писать его не надо, все тут люди догадливые), есть еще и общий множитель $k^2+2k+2$. И если его убрать (а его надо убрать) останется ерунда. И другие формулы...тоже бред.
Вобщем, спасибо большое, но не надо!

Других формул НЕТУ. Все "другие" получаются из известной путем подстановки. Кому это интересно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение12.12.2017, 15:37 


21/09/16
46
ДА....

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение12.12.2017, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Почему это называется "теоремой Ферма"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение12.12.2017, 16:15 


11/12/17

6
К сожалению в формулы перехода вкралась ошибочка!
Не порядок, ее надо исправить.
$i = k + m , 
j = k - m$
$k = ( i + j ) / 2 , 
m = ( i - j ) / 2$

$x^2 + y^2 = z^2$
Старое решение:
Минимальные пифагоровы тойки:
$x = 2 k m ; 
y = k^2 - m^2 ; 
z = k^2 + m^2$,
где $ k , m$ - взаимно простые числа различной четности.
Новое решение:
Минимальные пифагоровы тойки:
$x = i j ; 
 = ( i^2 - j^2) / 2 ; 
z = ( i^2 + j^2 ) / 2$,
где $ i , j$ - взаимно простые нечетные числа.[

$k = 2 , m = 1$ ;
$x = 2 k m = 4 ; 
y = k^2 - m^2 = 2^2 - 1^2 = 3; 
z = k^2 + m^2 = 2^2 + 1^2 =5$,
$4^2 + 3^2 = 2 5 = 5^2$,
$( 4 , 3 , 5 ) = ( 3, 4, 5 )$.

$i = k + m = 2 + 1 = 3, 
j = k - m = 2 - 1 =1$,
$i =3 , j =1$,
$x = i j = 3\cdot 1 = 3$;
$y = ( i^2 - j^2 ) / 2 = ( 3^2 - 1^2 )  / 2 = ( 9 -1 ) /2 = 4$ ;
$z = ( i^2 + j^2 ) / 2 = ( 3^2 + 1^2 ) / 2 = ( 9 + 1 ) / 2 = 5$,
$3^2 + 4^2 = 2 5 = 5^2$,
$( 3 , 4 , 5 ) = ( 4, 3, 5 )$.

$k = ( i + j ) / 2 = ( 3 + 1 ) / 2 = 2 , 
m = ( i - j ) / 2 = ( 3 - 1 ) / 2 = 1$
$ k = 2 , m = 1$.

-- 12.12.2017, 16:26 --

Теорема Ферма гласит: нет таких натуральных чисел $ x$ , $ y$ и $ z$ ,
которые бы при целой степени $ n > 2$ удовлетворяли уравнению $\ x^n+y^n=z^n$.
При $ n > 2$ уравнение решений не имеет, а при $ n = 2$ уравнение $\ x^2+y^2=z^2 $ имеет решения.
Уравнение $\ x^2+y^2=z^2 $ является частным случаем уравнения Ферма $\ x^n+y^n=z^n$ при $ n = 2$,
поэтому она и называется теоремой Ферма при $ n = 2$ .

Ну, не нравится Вам теорема Ферма, назовите ее теоремой Пифагора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение12.12.2017, 16:44 


21/05/16
4292
Аделаида
И не теорема Пифагора, а пифагоровы тройки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение12.12.2017, 19:39 


11/12/17

6
$x = 2 k m ; $
$y = k^2 - m^2 ; $
$z = k^2 + m^2$
$x^2 + y^2 = z^2$
$4 k^2 m^2 + ( k^2 - m^ 2 )^ 2 = k^4 + 2 k^2 m^2 + m^4 = ( k^2 + m^2)^2$



$x = i j ; $
$y= ( i^2 - j^2) / 2 ; $
$z = ( i^2 + j^2 ) / 2$
$x^2 + y^2 = z^2$
$ ( i j )^2 + ( i^2 - j^2 )^2 / 4 = i^2 j^2 + ( i^4 - 2 i^2 j^2 + j^4 )  / 4 =$
$ ( i^4 + 2 i^2 j^2 + j^4 )  / 4 = ( ( i^2 + j^2 ) / 2 )^2$

А почему не целочисленное решение теоремы Пифагора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение12.12.2017, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Fermatik44 в сообщении #1274423 писал(а):
решение теоремы Пифагора?

'Решение теоремы' - недопустимое косноязычие. Решение может быть у задачи или у уравнения. А у теоремы может быть доказательство, опровержение, частный случай и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое решение теоремы Ферма при n=2
Сообщение12.12.2017, 19:55 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
Fermatik44 в сообщении #1274423 писал(а):
$x = 2 k m ; $
$y = k^2 - m^2 ; $
$z = k^2 + m^2$

$x = i j ; $
$y= ( i^2 - j^2) / 2 ; $
$z = ( i^2 + j^2 ) / 2$

$i=k\sqrt{2}$
$j=m\sqrt{2}$
Или наоборот...
$k=\frac{i}{\sqrt{2}}$
$m=\frac{j}{\sqrt{2}}$
А зачем эти коэффициенты?!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group