2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение05.01.2018, 18:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
fred1996 в сообщении #1274180 писал(а):
Если бы удалось простенько доказать, что они являются минимумами, а других экстремумов на этой окружности нет, то такое решение вполне можно назвать олимпиадным школьным.

Насчёт школьного не знаю, но вот что стационарных точек не более шести -- достаточно очевидно. После перехода к цилиндрическим координатам $(\rho',\varphi', z')$, в которых ось $z'$ направлена по нормали к плоскости, старые координаты $x,y,z$ линейно выражаются через $\cos\varphi'$ и $\sin\varphi'$. Причём неважно, как именно: после их перемножения получается некоторое кубическое выражение относительно синусов и косинусов или, что эквивалентно, сумма гармоник от $\varphi',2\varphi',3\varphi'$. Такой же вид будет иметь и производная, поэтому корней у неё на периоде не более шести, т.к. на периоде эти гармоники (точнее, порождающие их комплексные экспоненты) образуют систему Чебышёва.

Ну и в силу симметрии относительно отражений как раз шесть таких точек мы знаем: это -- точки пересечения окружности с плоскостями $x=y$, $y=z$ и $x=z$. И опять же в силу симметрии, но уже относительно поворотов вокруг нормали достаточно рассмотреть только одну такую пару точек -- одна из них будет минимумом, другая -- максимумом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group