Экстремумы xyz

[ewert]

fred1996 в сообщении #1274180 писал(а):

Если бы удалось простенько доказать, что они являются минимумами, а других экстремумов на этой окружности нет, то такое решение вполне можно назвать олимпиадным школьным.

Насчёт школьного не знаю, но вот что стационарных точек не более шести -- достаточно очевидно. После перехода к цилиндрическим координатам $(\rho',\varphi', z')$, в которых ось $z'$ направлена по нормали к плоскости, старые координаты $x,y,z$ линейно выражаются через $\cos\varphi'$ и $\sin\varphi'$. Причём неважно, как именно: после их перемножения получается некоторое кубическое выражение относительно синусов и косинусов или, что эквивалентно, сумма гармоник от $\varphi',2\varphi',3\varphi'$. Такой же вид будет иметь и производная, поэтому корней у неё на периоде не более шести, т.к. на периоде эти гармоники (точнее, порождающие их комплексные экспоненты) образуют систему Чебышёва.

Ну и в силу симметрии относительно отражений как раз шесть таких точек мы знаем: это -- точки пересечения окружности с плоскостями $x=y$, $y=z$ и $x=z$. И опять же в силу симметрии, но уже относительно поворотов вокруг нормали достаточно рассмотреть только одну такую пару точек -- одна из них будет минимумом, другая -- максимумом.