2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Прогнувшаяся нить
Сообщение07.12.2017, 13:13 


23/09/17
30
Пусть между двумя стенками натянута невесомая нить и имеет длину $L$. Теперь к её середине подвешивают грузик некоторой массы. Она прогинается под его весом. Допустим, для силы упругости выполняется закон Гука. Чтобы записать второй закон Ньютона для груза я ввожу вертикальную ось и пишу проекции сил на неё. Но вот в чем вопрос: если я найду новую длину нити $L'$ (после подвешивания), то в законе Гука для каждой "полунити" должна учитываться величина $L' - L$ или половина этой разности? С одной стороны интуитивно кажется, что половина, но это только интуиция. Там же у нас будет разложение одной вертикально направленной силы на две, где каждая будет проекцией силы со стороны "полунитей", а удлинение полунити как раз и будет равно половине той разности. Верно ли такое рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение07.12.2017, 13:17 
Заслуженный участник


28/12/12
5034
WithoutName в сообщении #1272837 писал(а):
Верно ли такое рассуждение?

Тут нужно вместо многих слов написать две формулы и нарисовать одну картинку.
(В скобках еще замечу, что растяжение половинки нити под действием силы примерно вдвое меньше растяжения целой нити под действием той же силы.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение07.12.2017, 13:25 


23/09/17
30
Изображение

Длина нити после прогибания $L'$. Удлинение нити $L' - L$. Мой вопрос: верно ли, что $f_1 = f_2 = 0.5C(L' - L)$? То есть можно ли мысленно разбить единую нить на две полунити? И почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение07.12.2017, 13:42 
Заслуженный участник


28/12/12
5034
WithoutName в сообщении #1272840 писал(а):
Мой вопрос: верно ли, что $f_1 = f_2 = 0.5C(L' - L)$?

Зависит от значения буковки $C$.

WithoutName в сообщении #1272840 писал(а):
То есть можно ли мысленно разбить единую нить на две полунити?

Можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение07.12.2017, 13:45 


05/09/16
3571
WithoutName в сообщении #1272840 писал(а):
И почему?

По 3-му закону Ньютона, вы можете разбить на сколько угодно частей, главное не забыть при этом что в месте "разрезания" появляется две равных по модулю и противоположно направленных силы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение07.12.2017, 13:54 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
Закон Гука принято записывать так:
$F=-k(L'-L)$
Для к-та жесткости обычно принято использовать буковку $k$. В данном случае у вас $k$ относится к целой нити. Вы могли бы написать его в применении к половинке нити. Тогда к-жесткости половинки нити увеличится вдвое, но вдвое уменьшится ее растяжение. То есть сила натяжения естественным образом не изменится.

В более общем виде закон Гука выглядит так:
$F=-ES\frac{\triangle L}{L}$
Здесь он уже относится к материалу и геометрическим параметрам деформируемого тела. $S$ - площадь поперечного сечения, а $\frac{\triangle L}{L}$ - относительная продольная деформация тела.
Как видно, если укоротить нить вдвое, вдвое уменьшится и растяжение. То есть сила натяжения не изменится.
Ну а в теории упругости принята еще белее общая формула: $\varepsilon=\frac{1}{E}\sigma$
Здесь $\varepsilon$ -относительная деформация, а $\sigma=\frac{F}{S}$ напряжение - аналог давления в жидкостях и газах. Понятно, что в твердых телах напряжение может быть положительным и отрицательным. Положительное няпряжение (растяжение) как бы соответствует отрицательному давлению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение08.12.2017, 13:05 
Заслуженный участник


28/12/12
5034
fred1996 в сообщении #1272844 писал(а):
Ну а в теории упругости принята еще белее общая формула: $\varepsilon=\frac{1}{E}\sigma$

Это, скорее, не "более общий", а наоборот, предельно частный случай (простая деформация, причем только одна компонента тензора деформаций).

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение08.12.2017, 13:22 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
DimaM
Скажем так. Это более общий вид для описания простых деформаций, к которым относится например растяжение нити. Короче, тот вид, на котором останавливается обычно школьная физика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение08.12.2017, 13:30 
Заслуженный участник


28/12/12
5034
fred1996 в сообщении #1273102 писал(а):
Короче, тот вид, на котором останавливается обычно школьная физика.

Школьная физика останавливается на $F=-kx$. Изредка встречается примерно однократное упоминание $F=-ES\dfrac{\Delta L}{L}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение08.12.2017, 13:38 
Заслуженный участник


20/08/14
4537
Россия, Москва
Возможно школы у всех разные ... ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Прогнувшаяся нить
Сообщение09.12.2017, 02:41 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
Dmitriy40
Это верно. То что упоминает DimaM, это советский школьный вариант. Который и мы проходили в свое время.
Американский вариант наряду с советским пользеутся такими терминами как stress и strain.
И график stress-strain с эластичной, пластичной деформациями и пределом прочности.
В том числе и деформации сдвига.
Ну по крайней мере это то, что необходимо знать школьникам в продвинутых классах. Естественно, в школе тензоры не проходят.

Изучению деформации материалов в простейшем виде посвящается пол-главы из учебника Giancoli - базового учебника по физике примерно в 30% американских школ. В моей округе вообще 100%. Почти сразу после этой главы идет грава о колебаниях и волнах, где уже используются механизмы образования волн как следствие этих деформаций и даже выводится формула для скорости распространения волн в сплошной среде как функции модуля Юнга и плотности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group