Пожалуйста! Никак не получается найти экстремумы :((

[rdes]

Помогите найти экстремумы функции

\[f(x,y) = \sin (x^2 + y^2 )\]

Заранее спасибо!

Посчитав частные производные по x и y не понимаю, как найти стационарную точку sad.gif

получается, что-то типа

\[ x^2 + y^2 = \frac{\pi } {2} + \pi n,n \in \mathbb{Z} \]

и дальше ступор..((

[Brukvalub]

Беда в том, что у такой функции экстремумы не являются изолированными точками (кроме начала координат), а образуют линии, причём эти экстремумы - не строгие.

[rdes]

А что Вы можете посоветовать в таком случае делать?

[Brukvalub]

Рассмотреть эту функцию, как сложную-ответ виден сразу.

[PAV]

rdes, отредактируйте Ваше сообщение, используя принятые на форуме средства для записи формул (см. здесь).

[Бодигрим]

1. Где находятся экстремумы функции одной переменной $\sin z$?
2. Множества какого вида отвечают условию $x^2+y^2={\rm const}$?

[rdes]

1.

\[Min\left( {\sin z} \right) = - \frac{\pi }{2} + 2\pi n\]

;

\[Max\left( {\sin z} \right) = \frac{\pi }{2} + 2\pi n\]

2 .

\[x^2 + y^2 = const\]

- семейство окружностей с центром в нуле (0,0).

Значит, отсюда делаем вывод, что экстремумы:
Локальный минимум:

\[x^2 + y^2 = - \frac{\pi }{2} + 2\pi n\]

Локальный максимум:

\[x^2 + y^2 = \frac{\pi }{2} + 2\pi n\]

Так?

[Бодигрим]

Угу, так.

[rdes]

Спасибо!
А ограничение на n стоит указывать? А то выйдут окружности на комплексную плоскость..
И еще, нормально, что ответ в таком "неявном" виде? Как просто точки, удовлетворяющие соотношению..

[Бодигрим]

Цитата:

А ограничение на n стоит указывать?

Да, конечно, лучше указать. Впрочем, при отрицательных $n$ соответствующие множества (в неявно подразумеваем действительном смысле) просто пусты.

Цитата:

И еще, нормально, что ответ в таком "неявном" виде? Как просто точки, удовлетворяющие соотношению..

Вполне. Если очень хочется, перепишите зависимость между $x$ и $y$ в явном виде.

[rdes]

Очень благодарен! Спасибо!