2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Пожалуйста! Никак не получается найти экстремумы :((
Сообщение06.03.2008, 22:45 
Помогите найти экстремумы функции
\[f(x,y) = \sin (x^2  + y^2 )\]

Заранее спасибо!

Посчитав частные производные по x и y не понимаю, как найти стационарную точку sad.gif

получается, что-то типа \[
x^2  + y^2  = \frac{\pi }
{2} + \pi n,n \in \mathbb{Z}
\]

и дальше ступор..((

 
 
 
 
Сообщение06.03.2008, 22:49 
Аватара пользователя
Беда в том, что у такой функции экстремумы не являются изолированными точками (кроме начала координат), а образуют линии, причём эти экстремумы - не строгие.

 
 
 
 
Сообщение06.03.2008, 22:54 
А что Вы можете посоветовать в таком случае делать?

 
 
 
 
Сообщение06.03.2008, 22:56 
Аватара пользователя
Рассмотреть эту функцию, как сложную-ответ виден сразу.

 
 
 
 
Сообщение06.03.2008, 23:07 
Аватара пользователя
 !  rdes, отредактируйте Ваше сообщение, используя принятые на форуме средства для записи формул (см. здесь).

 
 
 
 
Сообщение06.03.2008, 23:48 
Аватара пользователя
1. Где находятся экстремумы функции одной переменной $\sin z$?
2. Множества какого вида отвечают условию $x^2+y^2={\rm const}$?

 
 
 
 
Сообщение07.03.2008, 00:27 
1. \[Min\left( {\sin z} \right) =  - \frac{\pi }{2} + 2\pi n\]; \[Max\left( {\sin z} \right) = \frac{\pi }{2} + 2\pi n\]

2 .\[x^2  + y^2  = const\] - семейство окружностей с центром в нуле (0,0).

Значит, отсюда делаем вывод, что экстремумы:
Локальный минимум: \[x^2  + y^2  =  - \frac{\pi }{2} + 2\pi n\]

Локальный максимум: \[x^2  + y^2  = \frac{\pi }{2} + 2\pi n\]

Так?

 
 
 
 
Сообщение07.03.2008, 00:31 
Аватара пользователя
Угу, так.

 
 
 
 
Сообщение07.03.2008, 00:35 
Спасибо!
А ограничение на n стоит указывать? А то выйдут окружности на комплексную плоскость..
И еще, нормально, что ответ в таком "неявном" виде? Как просто точки, удовлетворяющие соотношению..

 
 
 
 
Сообщение07.03.2008, 00:46 
Аватара пользователя
Цитата:
А ограничение на n стоит указывать?

Да, конечно, лучше указать. Впрочем, при отрицательных $n$ соответствующие множества (в неявно подразумеваем действительном смысле) просто пусты.
Цитата:
И еще, нормально, что ответ в таком "неявном" виде? Как просто точки, удовлетворяющие соотношению..

Вполне. Если очень хочется, перепишите зависимость между $x$ и $y$ в явном виде.

 
 
 
 
Сообщение07.03.2008, 00:54 
Очень благодарен! Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group