Интеграл от многозначной функции

[Tell Wilhelm]

mihiv
Нашел пример из материалов физфака СПбГУ.

g______d
Большое спасибо за наводку.

g______d в сообщении #1274165 писал(а):

1) При $a=0$ у интеграла есть замкнутое выражение через $\zeta(3/2)$.

Действительно,

$$ \int \limits _0^{\infty }\dfrac {\Re\sqrt {x}}{e^x+1}dx = \Re\left\{\frac{\sqrt{\pi}}{2}\zeta_{R} (3/2)\right\}. $$

Тогда для произвольного $a$ мы можем воспользоваться определением неполного полилогарифма. Если в оригинальном интеграле произведем замену $x+a=t$:

$$ \int \limits _0^{\infty }\dfrac {\Re\left\{\sqrt {x+a}\right\}}{e^x+1}dx = \Re\left\{\int \limits _a^{\infty }\dfrac {\sqrt {t}}{e^{t-a}+1}dt\right\} = \Re\left\{ \frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(3/2)}\int \limits _a^{\infty }\dfrac {t^{3/2-1}}{e^t/e^a+1}dt\right\}. $$

Сравнивая с определением неполного полилогарифма

$$ \operatorname{Li}_s(b,z) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_b^\infty \frac{x^{s-1}}{e^{x}/z-1}~dx, $$

видно, что

$$ \int \limits _0^{\infty }\dfrac {\Re\left\{\sqrt {x+a}\right\}}{e^x+1}dx = \Re\left\{\Gamma(3/2)\operatorname{Li}_{3/2}(a,e^a)\right\} = \Re\left\{\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{Li}_{3/2}(a,e^a)\right\}. $$

С вещественной частью я пока не уверен. Неполный полилогарифм изученная функция? Где-нибудь можно ее свойства посмотреть? Беглый взгляд по известной мне литературе ничего не дал.

[g______d]

Я бы пока вообще забил на вещественную часть и решал задачу для $a>0$. Вроде бы для $\zeta(3/2)$ нет никакого более простого представления. Поэтому не ясно, чего именно они ожидают в ответе.

[Tell Wilhelm]

g______d в сообщении #1274487 писал(а):

Я бы пока вообще забил на вещественную часть и решал задачу для $a>0$. Вроде бы для $\zeta(3/2)$ нет никакого более простого представления. Поэтому не ясно, чего именно они ожидают в ответе.

Решение в виде неполного полилогарифма выглядит приемлемым. Но я не могу найти о ней информацию в рецензируемых источниках. Статья из Wikipedia ссылается на GNU Scientific Library, где я вообще не нашел упоминаний о полилогарифмах.

[g______d]

Самое раннее, что я нашёл:

http://adsbit.harvard.edu/cgi-bin/nph-i ... lassic=YES

[Tell Wilhelm]

g______d в сообщении #1274640 писал(а):

Самое раннее, что я нашёл:

http://adsbit.harvard.edu/cgi-bin/nph-i ... lassic=YES

Судя по работе Goano, M., 1995. Algorithm 745: Computation of the complete and incomplete Fermi-Dirac integral. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 21(3), pp.221-232 мы не можем здесь использовать неполную функцию Ферми-Дирака так как $x$ (в терминах статьи, см. вырезку ниже) у нас комплексный, а по статье должен быть вещественный.


Я было уже обрадовался, что нашел понятный путь к решению.

[g______d]

Tell Wilhelm в сообщении #1274886 писал(а):

понятный путь к решению

ИМХО, если даже при вещественных положительных $a$ интеграл выражается только через некую весьма экзотическую спецфункцию, то вопрос о том, что можно считать решением задачи, становится довольно риторическим. Сомневаюсь, что на физфаке имели в виду какое-то подобное решение, скорее всего, в условии что-то напутано. Не может быть в ответе учебной задачи $\zeta(3/2)$ (если только для этого числа нет какой-то более простой формулы, в чём я сомневаюсь).

[Tell Wilhelm]

g______d в сообщении #1274905 писал(а):

Tell Wilhelm в сообщении #1274886 писал(а):

понятный путь к решению

ИМХО, если даже при вещественных положительных $a$ интеграл выражается только через некую весьма экзотическую спецфункцию, то вопрос о том, что можно считать решением задачи, становится довольно риторическим. Сомневаюсь, что на физфаке имели в виду какое-то подобное решение, скорее всего, в условии что-то напутано. Не может быть в ответе учебной задачи $\zeta(3/2)$ (если только для этого числа нет какой-то более простой формулы, в чём я сомневаюсь).

ИМХО, я не вижу ничего необычно в дзета-функции Римана. Она часто всплывает в различных физических приложениях.