Четыре точки в пространстве

[fred1996]

Пусть в трехмерном пространстве заданы четыре точки: $A, B, C, D$
Доказать что для любого их расположения справедливо неравенство:
$AC^2+AD^2+BC^2+BD^2\geqslant AB^2+CD^2$

#752

[wrest]

Ну, тут есть идея такая (Эйлеровская).

Обозначим точками $P$ и $Q$ середины отрезков $AB$ и $CD$ соответственно.
Рассмотрим векторные равенства:
$$\frac{1}{2}\vec{AB}=\vec{AP}=\vec{PB} \eqno(1)$
$$\frac{1}{2}\vec{CD}=\vec{CQ}=\vec{QD} \eqno(2)$

$$\vec{AC}=\vec{AP}+\vec{PQ}-\vec{CQ}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\vec{PQ}-\frac{1}{2}\vec{CD} \eqno(3)$
$$\vec{AD}=\vec{AP}+\vec{PQ}+\vec{QD}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\vec{PQ}+\frac{1}{2}\vec{CD} \eqno(4)$
$$\vec{CB}=\vec{CQ}-\vec{PQ}+\vec{PB}=\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{PQ}+\frac{1}{2}\vec{CD} \eqno(5)$
$$\vec{DB}=-\vec{QD}-\vec{PQ}+\vec{PB}=\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{PQ}-\frac{1}{2}\vec{CD} \eqno(6)$

Дальше возводим (3)-(6) в квадрат, складываем (3)-(6) и чудесным образом должны получить
$AC^2+AD^2+BC^2+BD^2=AB^2+CD^2+4PQ^2$

Откуда должно следовать что равенство будет только если $PQ=0$, т.е. только в плоском случае и только если $ACBD$ - параллелограмм (диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).

[worm2]

wrest, да, через координаты всё получается. Особенно если за начало координат взять одну из точек.
fred1996, красивые у вас задачки.

[fred1996]

Поскольку одно решение уже привели. То приведу совсем простое.
На мой взгляд неожиданное.

(Оффтоп)

В условие входят только квадраты расстояний. Значит неравенство можно доказать всего для одной координаты. Они же все независимые. А это совсем просто.

[wrest]

fred1996
Так векторный способ не опирается на координаты, там только предполагается что пространство евклидово, так что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Вы же там не видите координаты? То есть вычислений, кмк, будет одинаково.

[fred1996]

wrest
Я не оспариваю вашего решения. Просто обратил внимание на "неожиданный" факт, что данное неравенство достаточно доказать просто для точек на прямой.