2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Четыре точки в пространстве
Сообщение05.12.2017, 08:12 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
Пусть в трехмерном пространстве заданы четыре точки: $A, B, C, D$
Доказать что для любого их расположения справедливо неравенство:
$AC^2+AD^2+BC^2+BD^2\geqslant AB^2+CD^2$

#752

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре точки в пространстве
Сообщение05.12.2017, 14:57 


05/09/16
2432
Ну, тут есть идея такая (Эйлеровская).

Обозначим точками $P$ и $Q$ середины отрезков $AB$ и $CD$ соответственно.
Рассмотрим векторные равенства:
$$\frac{1}{2}\vec{AB}=\vec{AP}=\vec{PB} \eqno(1)$
$$\frac{1}{2}\vec{CD}=\vec{CQ}=\vec{QD} \eqno(2)$

$$\vec{AC}=\vec{AP}+\vec{PQ}-\vec{CQ}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\vec{PQ}-\frac{1}{2}\vec{CD} \eqno(3)$
$$\vec{AD}=\vec{AP}+\vec{PQ}+\vec{QD}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\vec{PQ}+\frac{1}{2}\vec{CD} \eqno(4)$
$$\vec{CB}=\vec{CQ}-\vec{PQ}+\vec{PB}=\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{PQ}+\frac{1}{2}\vec{CD} \eqno(5)$
$$\vec{DB}=-\vec{QD}-\vec{PQ}+\vec{PB}=\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{PQ}-\frac{1}{2}\vec{CD} \eqno(6)$

Дальше возводим (3)-(6) в квадрат, складываем (3)-(6) и чудесным образом должны получить
$AC^2+AD^2+BC^2+BD^2=AB^2+CD^2+4PQ^2$

Откуда должно следовать что равенство будет только если $PQ=0$, т.е. только в плоском случае и только если $ACBD$ - параллелограмм (диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре точки в пространстве
Сообщение05.12.2017, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2239
Уфа
wrest, да, через координаты всё получается. Особенно если за начало координат взять одну из точек.
fred1996, красивые у вас задачки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре точки в пространстве
Сообщение05.12.2017, 16:30 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
Поскольку одно решение уже привели. То приведу совсем простое.
На мой взгляд неожиданное.

(Оффтоп)

В условие входят только квадраты расстояний. Значит неравенство можно доказать всего для одной координаты. Они же все независимые. А это совсем просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре точки в пространстве
Сообщение05.12.2017, 17:28 


05/09/16
2432
fred1996
Так векторный способ не опирается на координаты, там только предполагается что пространство евклидово, так что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Вы же там не видите координаты? То есть вычислений, кмк, будет одинаково.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре точки в пространстве
Сообщение05.12.2017, 17:43 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
wrest
Я не оспариваю вашего решения. Просто обратил внимание на "неожиданный" факт, что данное неравенство достаточно доказать просто для точек на прямой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group