2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 minimal perimeter
Сообщение04.12.2017, 00:28 


25/07/16
18
Пусть задан равностороний треугольник $ ABC$ со стороной $a$ и $M$ - фиксированная точка стороны $(AB)$ . Точки $N$ и $P$ взяты на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно так, что периметр треугольника $MNP$ является наименьшим. Есль отношение площадей треугольников $MNP$ и $ABC$ равно $7:30$, найдите периметр треугольника $MNP$.

 Профиль  
                  
 
 Re: minimal perimeter
Сообщение04.12.2017, 02:33 
Аватара пользователя


09/10/15
2801
Columbia, Missouri, USA
Первое что приходит в голову, это два раза зеркально отобразить треугольник по пути периметра. Тогда на получившейся развертке минимальный периметр - это прямая.
Физически это интерпретируется как путешествие луча света, который выходит из исходной точки и туда же возвращается. То есть везде углы падения равны углам отражения.
Тогда довольно просто сосчитать такой кратчайший периметр как функцию например расстояния точки до ближайшей вершины.
К тому же появляется три подобных треугольника. Пытался найти площадь тригонометрически, но что-то запутался. Мне кажется с площадями и подобиями есть какое-то красивое решение. Пока не придумалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: minimal perimeter
Сообщение04.12.2017, 05:44 
Аватара пользователя


09/10/15
2801
Columbia, Missouri, USA
В общем с подобиями получилось неплохо.
Итак, в исходной конструкции треугольники $AMN$, $BMP$ и $CNP$ подобны.
Вершины я как раз указал в порядке подобия.
Пусть у нас задана длина отрезка $AM=x$. Нам нужно найти длину отрезка $AN=y$ и к-ты подобия треугольников $K_1$ и $K_2$ соответственно.
Для простоты будем считать, что все стороны исходного треугольника единичной длины.
Тогда у нас моментально получаются три уравнения для трех сторон:
1. Сторона $AB$: $x+K_1y=1$
2. Сторона $BC$: $K_1x+K_2x=1$
3. Сторона $AC$: $y+K_2y=1$
То есть по заданному $x$ все что надо считается. И можно посчитать искомую площадь как функцию $x$.
Ну а периметр как функцию $x$ можно сосчитать из развертки - двукратному отражению треугольника относительно сторон.
Единственный минус. Выражения достаточно громоздки. Поэтому окончательного ответа нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: minimal perimeter
Сообщение08.12.2017, 08:14 
Заслуженный участник


03/01/09
1230
москва
Для $p_{\min}$ получается биквадратное уравнение. $p_{\min}=a\sqrt {\frac 73}, AM=\dfrac a3$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group