2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение03.12.2017, 20:26 


31/03/16
174
Пытаюсь решить задачку:
Доказать что при афинном преобразовании с единственной неподвижной точкой, все инвариантные прямые проходят через эту неподвижную точку.
Рассуждаю так:
Пусть есть инвариантая прямая $l_1$, не проходящая через единственную неподвижную точку $x_0$.
Тогда существует инвариантная прямая $l_0$, параллельная $l_1$, проходящая через $x_0$ (потому что любой отрезок от $x_0$ до любой точки на этой прямой должен переходить в параллельный отрезку от $x_1$ до какой-либо точки на $l_1$)
Возьмем точку $x_1$ на прямой $l_1$, тогда, вектор $x_0x_1$ перейдет в какой-то вектор $x_0x_2$ где $x_2$ - точка лежащая на $l_1$. Интуитивно ясно что тут дальше надо как-то воспользоваться сохранением параллельности при афииных преобразованиях но что-то как-то дальше фантазии не хватает... Может поможет кто-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение03.12.2017, 21:12 
Заслуженный участник


10/01/16
1442
А что можно сказать про сужение Вашего аффинного на $l_1$? У него ведь нет неподвижных, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение03.12.2017, 21:24 


31/03/16
174
DeBill в сообщении #1271571 писал(а):
А что можно сказать про сужение Вашего аффинного на $l_1$? У него ведь нет неподвижных, да?


Да, у него нет неподвижных, поэтому $\forall x_1\in l_1, \exists x_2\in l_1: x_1\mapsto x_2,  x_1\ne x_2$.
Но что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение03.12.2017, 21:32 
Заслуженный участник


10/01/16
1442
Ну я и спрашиваю: что можно сказать про отображение прямой вида $x\mapsto kx+b$ без неподвижных точек? Неужели это не сдвиг?

 Профиль  
                  
 
 Re: Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение03.12.2017, 21:37 


31/03/16
174
DeBill в сообщении #1271586 писал(а):
Ну я и спрашиваю: что можно сказать про отображение прямой вида $x\mapsto kx+b$ без неподвижных точек? Неужели это не сдвиг?


Ну да, сужение нашего афинного на $l_1$ - это сдвиг. Но что это нам дает для доказательтсва невозможности такой прямой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение03.12.2017, 22:41 
Заслуженный участник


10/01/16
1442
Ну, может, построить параллелограмм со сторонами на $l_1$ и $l_0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение04.12.2017, 10:11 


31/03/16
174
DeBill в сообщении #1271660 писал(а):
Ну, может, построить параллелограмм со сторонами на $l_1$ и $l_0$?

Ok, спасибо, разобрался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение04.12.2017, 13:52 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
DeBill в сообщении #1271586 писал(а):
Ну я и спрашиваю: что можно сказать про отображение прямой вида $x\mapsto kx+b$ без неподвижных точек? Неужели это не сдвиг?

Разумеется, нет!
У прямой вообще нет сдвигов.
В геометрии сдвиг - это аффинное преобразование плоскости (пространства), с точечно-двойной прямой (гиперплоскостью), у которого направление родства параллельно оси (гиперплоскости) родства.

Разумеется, я понимаю, что Вы имели в виду параллельный перенос.
В последнее время я все чаще сталкиваюсь с тем, что параллельный перенос называют сдвигом. Например, так поступает Зорич в известном учебнике.
Но даже его авторитет не является оправданием для путаницы в терминологии.
Это ведь не та ситуация, когда в разных науках или хотя бы разделах один и тот же термин используется в разных смыслах. А разные смыслы в пределах вполне конкретной темы (аффинные преобразования) - это, IMHO, перебор.

PS: Извините за занудство. Старею, наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение04.12.2017, 15:31 


31/03/16
174
VAL в сообщении #1271899 писал(а):
DeBill в сообщении #1271586 писал(а):
Ну я и спрашиваю: что можно сказать про отображение прямой вида $x\mapsto kx+b$ без неподвижных точек? Неужели это не сдвиг?

Разумеется, нет!
У прямой вообще нет сдвигов.
В геометрии сдвиг - это аффинное преобразование плоскости (пространства), с точечно-двойной прямой (гиперплоскостью), у которого направление родства параллельно оси (гиперплоскости) родства.

Разумеется, я понимаю, что Вы имели в виду параллельный перенос.
В последнее время я все чаще сталкиваюсь с тем, что параллельный перенос называют сдвигом. Например, так поступает Зорич в известном учебнике.
Но даже его авторитет не является оправданием для путаницы в терминологии.
Это ведь не та ситуация, когда в разных науках или хотя бы разделах один и тот же термин используется в разных смыслах. А разные смыслы в пределах вполне конкретной темы (аффинные преобразования) - это, IMHO, перебор.

PS: Извините за занудство. Старею, наверное.


Спасибо за комментарий.
Я сейчас занимаюсь по лекциям, в которых дается следующее определение:
Изображение
Правильно ли я понимаю что в математике принято, что автор может давать свои определения (или переопределять чужие), и потом пользоваться ими в рамках курса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой
Сообщение04.12.2017, 18:15 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
ikozyrev в сообщении #1271930 писал(а):
Правильно ли я понимаю что в математике принято, что автор может давать свои определения (или переопределять чужие), и потом пользоваться ими в рамках курса?
Разумеется, в идеале желательно пользоваться единой системой определений, как минимум, для общепринятых вещей.
Вот только достижим ли идеал?

Приведенное мной определение сдвига соответствует тому, что дано в мат. энциклопедии.
Но, похоже, все большее число математиков используют термин "сдвиг" как синоним параллельного переноса. Интересно, как они называют настоящий сдвиг? :roll:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Сергей Маркелов


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group