неровность

[nworm]

Уважаемые эксперты!

Есть ли какая-нибудь математическая мера неровности (шероховатости) поверхности?

Заранее спасибо.

[juna]

Это вам в метрологию надо, там куча ГОСТов по шероховатости поверхности.

[Zai]

nworm писал(а):

Есть ли какая-нибудь математическая мера неровности (шероховатости) поверхности?

Наиболее ярко максимально допустимое значение неровности определяются для поверхности аэродромов. Для линейки определенной длины максимальный просвет между жесткой линейкой и поверхностью не должен превышать допустимую величину.

[AD]

Ну гладкость (дифференцируемость то бишь), ну хаусдорфова размерность,

... не то?

[ddn]

AD писал(а):

Ну гладкость (дифференцируемость то бишь), ну хаусдорфова размерность,

Думаю, что дифференцируемость и хаусдорфова размерность не подходят, дифференцируемость - качественное свойство, а хаусдорфова размерность - характеризует закон роста площади, а не величину самой шероховатости.

nworm писал(а):

Есть ли какая-нибудь математическая мера неровности (шероховатости) поверхности?

Математические меры неровности можно придумать самые что ни на есть разные. Без конкретики задачи выбрать нужную невозможно. Нужно ли вам оценить неровность для больших, для малых масштабов, или для средних?

Ну к примеру. Можно взять супремум от главных кривизн точек гладкой поверхности (оценка для малых масштабов) или же взять минимально возможное расстояние ("высоту") между паралельными плоскостями между которыми можно поместить поверхность (оценка для больших масштабов) - все это размерные величины. Для ограниченной поверхности для обезразмеривания можно умножить/поделить эту величину на диаметр этой поверхности, взятой как множество.
Для второй оценки можно ввести дополнительно фиксированный масштаб длины и рассматривать только куски поверхности, не превышающие диаметром данной длины, а потом взять супремум по их "высотам". Здесь неровность поверхности не только на малых, но и на больших масштабах не учитывается, например: сфера будет весьма неровной для такой оценки (обезразмеренная версия) без введения дополнительного масштаба длины - неровность$=\frac{h}{D}=\frac{2R}{2R}=1$, и очень ровной при введении такого малого масштаба длины $l$ - неровность$=\frac{h}{D}=\frac{l^2}{16 R^2}$/
Эта последняя оценка (в размерном варианте) аналогична оценке, предложенной Zai, где за масштаб длины берется длина линейки.

[Профессор Снэйп]

Я бы попробовал в качестве "меры шероховатости" рассматривать отношение площади поверхности к площади сглаженной поверхности. Последнее, правда, нуждается в дополнительных определениях: нужно задать процедуру сглаживания и всё такое... В общем случае непонятно, как к этому подступится, но, возможно, для конкретной поверхности это получится определить удачным образом.

Пример --- "мера шероховатости Земли", Земля в первом приближении --- шар, в качестве сглаженной поверхности Земли можно рассматривать либо сферу, либо более точно --- поверхность геоида. Эту площадь засовываем в знаменатель дроби. В числитель же засовываем полную площадь поверхности со всеми горами, оврагами, руслами рек и т. д.

[bot]

nworm писал(а):

Есть ли какая-нибудь математическая мера неровности (шероховатости) поверхности?

Конечно есть - только из названия статьи или диссертации не сразу эту шероховатость распознаешь.

Вот сказывают, что в хрущёвские времена или ещё раньше был период зажимания фундаментальной науки - сейчас есть признаки того же самого. Немало диссертаций тогда провалили из-за отрыва теории от насущных потребностей народного хозяйства.
Вот одна имела название что-то вроде "Циркуляция ротора кусочно гладкой функции по недиффиренцируемому многообразию". Провалили защиту - потребовали коренной переработки в свете приложений. Не стал диссертант в содержании ни одной строчки менять. Повторная защита диссертации под новым названием "Качение сучковатого бревна по шероховатой поверхности" прошла на ура.

[Руст]

То, что написал Профессор Снэйп приходит в голову первую секунду. На самом деле ответ зависит от цели употребления этого понятия. Например, та же шероховатость при этом определении может достигаться как с иголками наружу или с наружу гладко. В зависимости от этого поверхность сделает царапины на другом материале или нет.
Поэтому предложу ещё одну характеристику (уже не числом, а функцией), учитывающую такую шероховатость (до этого уже пришлось думать минуту).
Берём вначале выпуклую оболочку искомой поверхности $S_0$, далее рассматриваем сечения тела с границей в виде заданной поверхности с поверхностями, полученными от выпуклой оболочки вдавливанием в тело на $h\geq 0$ и площадь сечения обозначим $S(h)$.
Если поверхность игольчатая $S(0)=0$ (вначале нулевая опора) и она царапается. Если поверхность выпуклая то $S(0)$ равна площади исходной поверхности. Правда выпуклые поверхности типа многогранников так же далеки от гладкости. Однако указанная функция распространённая и в отрицательную область $S(h), h<0$ учитывает и такую не гладкость и можеть служит характеристикой шероховатости поверхности.

[ddn]

Профессор Снэйп писал(а):

Я бы попробовал в качестве "меры шероховатости" рассматривать отношение площади поверхности к площади сглаженной поверхности. Последнее, правда, нуждается в дополнительных определениях: нужно задать процедуру сглаживания и всё такое... В общем случае непонятно, как к этому подступится, но, возможно, для конкретной поверхности это получится определить удачным образом.

Пример --- "мера шероховатости Земли", Земля в первом приближении --- шар, в качестве сглаженной поверхности Земли можно рассматривать либо сферу, либо более точно --- поверхность геоида. Эту площадь засовываем в знаменатель дроби. В числитель же засовываем полную площадь поверхности со всеми горами, оврагами, руслами рек и т. д.

Я тоже сначала решил взять нечто подобное. Только за нешероховатую поверхность я брал круг и спрямлял локальные куски поверхности, беря супремум (взятие же среднего примерно совпадает с отношением общих площадей шероховатой и сглаженной поверхностей). Точнее:
Сначала нужно выбрать некий фиксированный масштаб длины $R$ - для локального случая, для глобального случая взять полудиаметр поверхности. Для каждой точки поверхности рассмотреть кусок поверхности внутри шара, радиуса $R$ и ее площадь $S$. Поделить эту площадь на $2\pi R^2$ и вычесть один, а затем взять супремум этой величины по всем точкам поверхности... Но потом передумал. Ибо это не то.

Во-первых, это сгодилось бы для поверхности простой топологии, а если поверхность испещрена дырами? - тогда возможен случай, когда потери площади из-за дыр компенсировались бы излишками площади из-за складок, а общий нулевой результат говорил бы: поверхность ровная, чего явно нет.

Во-вторых, даже для простой поверхности ведь площадь круга $2\pi R^2$ совсем не является минимальной площадью куска поверхности, ограниченной радиусом $R$ (например, из центра выходит острый конус), и это бывает не для отдельных точек, а в массом порядке - а может и супремум по всем точкам поверхности от величины $\frac{S}{2\pi R^2}-1$ окажется отрицательным? - это значит поверхность более прямая, чем плоскость!!!?

Хотя, вариант Профессора Снэйпа в этом плане несколько лучше, у него не берутся шаровые окрестности, а берется проекция поверхности на приближенную сглаженную поверхность. Именно проекция! Проекция - то, что нужно! Площадь проекции поверхности на плоскость всегда меньше-равна площади исходной поверхности, а равна ей лишь при плоской исходной поверхности. Но приближенная сглаженная поверхность Профессора Снэйпа только локально плоская и неотрицательность оценки не гарантирована!

В этом плане у меня сейчас появилась идея. Разбить поверхность на кусочки, полудиаметром не более $R$ (масштаб длины). Подобрать для каждого кусочка плоскость, проекция его на которую будет иметь наибольшую площадь. Взять супремум по всем кусочкам от отношений площади кусочков и их проекций, либо взять отношение площади всей повехности и суммы площадей проекций кусочков. Вычесть один. Взять супремум по всем разбиениям поверхности на такие кусочки (инфинум по очень мелким разбиениям гладкой поверхности даст нуль).
Думаю, эта оценка обладает долгожданным требуемым свойством: она всегда неотрицательна и при стремлении к нулю поверхность (если она $R$-связна) стемится к плоской почти на всей площади (это из-за иголок). Но эта оценка зависит от выбранного масштаба длины.

Потом иголки, на которые весьма своевременно указал Руст, могут иметь сколь угодно большую длину, но очень малую площадь - оценками через площадь они вообще не улавливаются.
Только сейчас пришла идея: для улова иголок (и всяких прочих точечных образований), вычислять эффективную площадь так. Вводим еще один масштаб длины $h$, меньший $R$. Берем шаровую окрестность поверхности, радиуса $h$. Объем данного тела делим на $2h$, что и дает эффективную площадь. Если $h$ просто меньше $R$, а не много меньше, то так вычистять эффективную площадь для кусков поверхности не следует, а нужно разбивать уже само это тело, и уж затем объемы кусков этого тела делить на $2h$ и смотреть площади проекции этих кусков (далее аналогично).

[juna]

На практике оценивают следующее
http://graph.power.nstu.ru/wolchin/umm/ ... 09/001.htm

[Руст]

Вообще говоря подсчёт $S(h)$ не даёт достаточно полной информации о шероховатости. Информация несколько полнее, если в качестве $S(h)$ рассмотреть площадь огибающей всех сфер радиуса $h$, с центрами в точках заданной поверхности, при этом для внешних огибающих берётся $h<0$ и $S(h)$ равна площади внешней огибающей сфер радиуса $|h|$, для внутренней $h>0$. Дополнительно, для $h>0$ имеет смысл рассмотреть также то, что я описал раньше "площадь прикасания после придавливания поверхности на $h$". Через них почти все интересные характеристики выражаются как функционалы типа $\int_S f(h)dS(h)$. При таких функционалах плоские поверхности имеют постоянную площадь, т.е. нулевую шероховатость.