Архипов, Садовн., Чубариков, Лекции по Матану, Стильтьес

[ctdr]

Издание 4, 2004, стр 271, свойство 1 (после т-ы 5):

Если функция $u(x)$ дифф-ма, то имеет место: $\int_a^b f(x) du(x)=\int_a^b f(x)u'(x)dx$, где последний инт-л понимается как Римана.

Взяв $u(x)=x^2\sin \frac{1}{x^{3/2}}$ на $[-1,1]$, получим неогр. производную $u'(x)$, последний инт-л не определён. Почему нет условия на интегрируемость производной?

PS. Забыл добавить: легко показать что это - ф-ция огр. вар.: взяв самое неудобное разбиение $x_k: \frac{1}{x^{3/2}_k}=\pi/2+\pi k$, получим $\sum |u(x_k)-u(x_{k+1})|=\sum x^2_k=\sum \frac{1}{(\pi/2+\pi k)^{4/3}} < \infty$