Сколько плоскостей соприкасаются в угле плоскости гиперкуба?

[Dead Coyote]

Здравствуйте.

В обычном 3-х мерном кубе угол каждой плоскости соприкасается с 2 другими плоскостями. Как узнать, с каким количеством плоскостей будет соприкасаться угол одной плоскости 4-х и более -мерного куба?

[grizzly]

Dead Coyote в сообщении #1270547 писал(а):

Сколько плоскостей соприкасаются в угле плоскости гиперкуба?

Здесь (на форуме) нужно пытаться думать самостоятельно. Для начала 2 наводящих вопроса:

1. Сколько рёбер сходятся в каждой вершине $n$-мерного куба?
2. Сколько рёбер, выходящих из одной вершины задают одну плоскость (лучше называть её двумерной гранью)?

[arseniiv]

Давайте ещё сразу определимся с терминологией, а то путаница будет:

0-грань — вершина, 1-грань — ребро, 2-грань — собственно, грань, 3-грань — «объём» (можно считать, что у каждого обычного трёхмерного многогранника по одной 3-грани, так же как у каждого плоского многоугольника по одной 2-грани). Ещё можно говорить о гиперграни — это $(n-1)$-грань, где $n$ — наибольшее число, для которого у политопа ещё есть грани с таким индексом. У многоугольников гиперграни — рёбра, у многогранников — 2-грани, у 4-куба они будут обычными 3-кубами.

То же говорят про $n$-плоскости: 0 — точка, 1 — прямая и так далее, а в определении «гипер» $n$ означает размерность рассматриваемого пространства: в 3-пространстве гиперплоскости — обычные плоскости, на плоскости это прямые и т. д.; $n$-грань всегда часть некоторой $n$-плоскости.

[Dead Coyote]

grizzly в сообщении #1270551 писал(а):

1. Сколько рёбер сходятся в каждой вершине $n$-мерного куба?
2. Сколько рёбер, выходящих из одной вершины задают одну плоскость (лучше называть её двумерной гранью)?[/list]

1. 4
2. 2

Если любая пара рёбер образует двумерную грань, то, получается, в 4-кубе каждый угол будет соприкасаться с 6 двумерными гранями. Правильно?

arseniiv в сообщении #1270555 писал(а):

Давайте ещё сразу определимся с терминологией, а то путаница будет:

Спасибо! Познавательно. Теперь буду говорить правильно.

[grizzly]

Dead Coyote в сообщении #1270622 писал(а):

Если любая пара рёбер образует двумерную грань, то, получается, в 4-кубе каждый угол будет соприкасаться с 6 двумерными гранями. Правильно?

Да, верно. Чуть лучше будет сказать "в каждой вершине сходится 6 двумерных граней".

[Dead Coyote]

Ясно. Огромное спасибо!