Можно попытаться решить обратную задачу. По заданным полуосям и углу поворота найти эти две точки. Эта задача имеет хоть и громоздкое, но аналитическиое решение.
Не очень громоздкое, если в параметрической форме.





- параметр в системе

, повёрнутой относительно

на угол

в положительном направлении.
Из условий для касательных:


В решении прямой задачи также имеется аналитическое решение. Но очень громоздкое.
Но с современными средствами - очень простое.
Например, функция Excell - поиск решения. При помощи этой функции можно решать системы нелинейных уравнений.
Я задал пример

,

Результат:
эллипс через эти точки построить нельзя, при заданных условиях.
Можно, например:

,

Результат:

°
То есть одно из данных

- зависимое.
Значит при нахождении решения надо использовать 3 из 4 уравнений (1-4).
А одно уравнение решать отдельно.
Задача очень интересная. И для ТС надо найти решение аналитически.
(Оффтоп)
Не всегда были такие мощные вычислительные средства.
Во времена моей учёбы в институте, у нас были только логарифмические линейки.