2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение26.11.2017, 14:36 


10/03/13
74
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, решить задачу: на оси бесконечного клина, движущегося со скоростью $\vec{V}$, происходит распад тела с образованием множества осколков, разлетающихся равномерно по всем направлениям со скоростью $\vec{u}$. Каким должен быть угол клина, чтобы на его боковую поверхность упала половина осколков? (Ответ: $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{u}{V}\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}$)
Вот так, как я понял, это выглядит:
Изображение
Я пытался решить так: если тело имеет массу $2m$, то при распаде можно выделить два "куска" одинаковой массы $m$, которые разлетаются по разные стороны от биссектрисы. Каждый такой кусок имеет скорость $\vec{2u}$, и она направлена перпендикулярно биссектрисе в ту или другую сторону. Потом я написал проекции для этих скоростей и сделал для них преобразование Лоренца. Далее я приравнял четырёхвекторы импульса-энергии до и после, взял от них квадрат и попытался найти угол. Но не получилось. Наверно нужно было решать как-то по-другому. Подскажите, пожалуйста, как решать эту задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 07:24 
Заслуженный участник


28/12/12
5034
Dellghin
Я бы попробовал рассмотреть распад движущегося тела в системе неподвижного клина и посчитать, в какой угол направлены скорости половины осколков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 08:53 


10/03/13
74
Получается в системе неподвижного клина тело изначально имеет скорость $-V$ по $Ox$. Как тогда можно посчитать результирующую скорость половины осколков?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 09:16 
Заслуженный участник


28/12/12
5034
Dellghin в сообщении #1269504 писал(а):
Как тогда можно посчитать результирующую скорость половины осколков?

Преобразовать скорость по известным формулам.
Условие, кстати, не вполне ясное: $\alpha$ - это угол неподвижного клина или движущегося? Аналогично с биссектрисой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 09:23 


10/03/13
74
DimaM в сообщении #1269508 писал(а):
Преобразовать скорость по известным формулам.

Это-то понятно, но каким образом можно определить скорость не одного осколка, а половины? И какую именно половину рассматривать? Их же можно разделить разными способами.
DimaM в сообщении #1269508 писал(а):
это угол неподвижного клина или движущегося?

А разве угол поменяется при переходе в другую с.о.? Он же ни отчего не зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 09:32 
Заслуженный участник


28/12/12
5034
Dellghin в сообщении #1269509 писал(а):
А разве угол поменяется при переходе в другую с.о.? Он же ни отчего не зависит.

Ну здрасьте!
Преобразуйте координаты точек $(x'=0, y'=0)$ и $(x'=l, y'=l\tg{\alpha'})$ в ЛСО при одинаковых $t$. Конечно угол будет другим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 12:38 
Заслуженный участник


01/06/15
831
С.-Петербург
Dellghin в сообщении #1269509 писал(а):
но каким образом можно определить скорость не одного осколка, а половины? И какую именно половину рассматривать?
По-моему, немножко странные вопросы. Как я понял из условий, скорость каждого осколка по модулю равна $u$, направления разные. При переходе в другую СО надо будет учитывать угол между скоростями $\vec{V}$ и $\vec{u}$ для каждого осколка (а их не 2, как Вы рассматривали, а множество). Я бы попробовал рассмотреть распределение плотности разлёта осколков по углам (по условиям в неподвижной СО оно равномерно), как оно изменится при переходе в движущуюся СО.

Подсказка. Посмотрите на ответ. При нулевой скорости угол $\alpha /2 = \pi /2$, т.е. полный угол клина развёрнутый - фактически имеем не клин, а плоскость. Действительно, в таком случае при равномерном разлёте осколков на плоскость упадёт ровно половина. Это же рассмотрение даёт нам уточнение к условию задачи: под боковой поверхностью клина подразумеваются обе полуплоскости, образующие клин, а не одна из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 12:45 
Заслуженный участник


28/12/12
5034
Walker_XXI в сообщении #1269535 писал(а):
При нулевой скорости угол $\alpha /2 = \pi /2$, т.е. полный угол клина развёрнутый - фактически имеем не клин, а плоскость. Действительно, в таком случае при равномерном разлёте осколков на плоскость упадёт ровно половина.

При нулевой скорости и распаде на биссектрисе на каждую из сторон попадет половина осколков при любом $\alpha$.
Фокус, видимо, в том, что биссектриса неподвижного угла не совпадает с биссектрисой движущегося.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 13:16 
Заслуженный участник


01/06/15
831
С.-Петербург
DimaM в сообщении #1269539 писал(а):
При нулевой скорости и распаде на биссектрисе на каждую из сторон попадет половина осколков при любом $\alpha$.
Да ладно! Когда всё неподвижно, осколки, улетевшие в направлении биссектрисы, а также уклонившиеся от неё на угол $\beta < \alpha/2$, никогда не попадут ни на одну из сторон (полуплоскостей) клина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 13:23 
Заслуженный участник


28/12/12
5034
Walker_XXI в сообщении #1269544 писал(а):
Да ладно! Когда всё неподвижно, осколки, улетевшие в направлении биссектрисы, а также уклонившиеся от неё на угол $\beta < \alpha/2$, никогда не попадут ни на одну из сторон (полуплоскостей) клина.

Да, что-то я напутал.
Но все же при нулевой скорости на каждую из половин развернутого угла попадет четверть осколков. Чтоб попала половина, угол должен быть нулевым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение27.11.2017, 13:25 


05/09/16
3571
Walker_XXI в сообщении #1269544 писал(а):
Да ладно! Когда всё неподвижно, осколки, улетевшие в направлении биссектрисы, а также уклонившиеся от неё на угол $\beta < \alpha/2$, никогда не попадут ни на одну из сторон (полуплоскостей) клина.

Правильно, а когда скорость клина больше скорости разлета осколков, то клин рано или поздно догонит их все.

-- 27.11.2017, 13:32 --

DimaM в сообщении #1269549 писал(а):
при нулевой скорости на каждую из половин развернутого угла попадет четверть осколков. Чтоб попала половина, угол должен быть нулевым.

Ну да, или скорость клина должна быть какой-то ненулевой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распад тела на оси бесконечного клина
Сообщение30.11.2017, 17:01 


10/03/13
74
Walker_XXI в сообщении #1269535 писал(а):
Как я понял из условий, скорость каждого осколка по модулю равна $u$, направления разные. При переходе в другую СО надо будет учитывать угол между скоростями $\vec{V}$ и $\vec{u}$ для каждого осколка (а их не 2, как Вы рассматривали, а множество). Я бы попробовал рассмотреть распределение плотности разлёта осколков по углам (по условиям в неподвижной СО оно равномерно), как оно изменится при переходе в движущуюся СО.

Получается, если $\varphi$ - угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{V}$ (фактически угол между $\vec{u}$ и $Ox$), то $\vec{u}_{osk} = (u \cos \varphi, u \sin \varphi )$. Делая преобразования Лоренца, получаем:
$\vec{u^{'}}_{osk} = \left(\frac{u \cos \varphi - V}{1 - \frac{Vu \cos \varphi}{c^2}}, \frac{1}{\gamma} \frac{u \sin \varphi}{1 - \frac{Vu \cos \varphi}{c^2}} \right)$.
Как тогда дальше учесть, что половина должна упасть на поверхность?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group