Выразить сумму через производящую функцию

[Leodoo]

Подскажите, пожалуйста, как решать такие задачи: Используя свойства производящих функций, выразить сумму через производящую функцию и по возможности, максимально сократить количество вероятностей в представленном выражении. P_k - вероятность появления несовместных событий.

$$F(z) = \sum\limits_{k=0}^{N}z^k P_k, |z|\leqslant 1, $$

$$ \sum\limits_{k=0}^{N}P_k = 1, 0\leqslant P_k \leqslant 1, k = 0, 1, 2, ..., N $$

Для примера:

$$\sum\limits_{k=0}^{N-1} z ^{k-1}P_k$$

$$\sum\limits_{k=0}^{N} kz^k P_{k-1}$$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} z ^{k-1}P_k$$

[Lia]

Что должны иллюстрировать Ваши примеры - в данном случае, непонятно.

В общем случае Вы уже сделали все, что можно. Лучше не будет. Если Вас интересует конкретная задача - формулируйте ее. Не забудьте привести попытки решения. Каждая решается индивидуально.

[Leodoo]

Наверное я плохо описал задание, вот оригинальный текст задания.

https://cdn1.savepice.ru/uploads/2017/11/21/1c2fe5f2681f3a52c87945aab83c624f-full.jpg

Помогите разобраться. С чего начать?

[mihailm]

С методички очевидно

[Lia]

То есть это не "для примера", это собственно задания. Бумажку убирайте.

Можно делить (например, часто удобно делить на степень $z$), умножать на нее же, дифференцировать и наоборот, комбинировать эти действия, выбирая, что сперва, что потом.

Попробуйте и напишите попытки решения.

[Leodoo]

"Выразить сумму через производящую функцию" - т.е. я должен умножить $F(z)$ на какое-либо значение или прибавить к нему что-то, так чтобы получился пример из задания?

[Lia]

Ну или в обратном порядке. Взять пример из задания, ... и знаете, в этом месте обычно и пишется слово "выразить". Через $F$.

Оформляйте формулы, пожалуйста.

[Leodoo]

Выражаю:

$$\sum\limits_{k=0}^{N-1}z^{k-1} P_k$$

Через производящую функцию:

$$F(z)=\sum\limits_{k=0}^{N}z^k P_k$$

Получил:

$$\frac{1}{z}\sum\limits_{k=0}^{N}z^k P_k - \frac{z^N P_N}{z} = \sum\limits_{k=0}^{N-1}z^{k-1} P_k$$

Проверьте, пожалуйста, мой ответ.

[Lia]

Leodoo
Ссылку на картинку я убрала. Нужно что-то написать - пишите здесь.
Вы прикидывали там, что получится при $N=3$. Что же, возможно в этом и есть смысл. Можно все слагаемые выписывать. Вот и выпишите их все. И тогда увидите, что в Вашей последней строчке левая часть не равна правой.

Тег math на весь текст цеплять не нужно.