Площадь трапеции.

[KPEHgEJIb]

Очередная задача по планиметрии. (Dimoniada, надеюсь вы довольны )

В трапеции длины оснований равны 5 см и 15 см, а длины диагоналей равны 12 см и 16 см. Найти площадь трапеции.

Решение получилось, но ответ не сходится. Действует ли для трапеции свойство, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон? Если нет, то значит ошибка уже в этом.

Выразил одну неизвесную сторону через другую.

$256+144=25+225+a^2+b^2$
$a=\sqrt{150-b^2}$

Теперь применил теорему синусов.
(Выделенные углы равны по свойству параллельных прямых).

1.$b^2=160cosy-131$
2.$150-b^2=369cosy$
$b^2=160cosy-131$

$160\cosy-131=160cosy-131$
$y=17°$

Отсюда площать треугольника $ACD=$
$\frac{240sin17°}{2}=35$

И площадь треульнкика $ABC=$
$\frac{80sin17°}{2}=12$

Вся трапеция $47$, а ответ совсем другой

[bobo]

Цитата:

Действует ли для трапеции свойство, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон?

Конечно нет.
Если $O$ - точка пересечения диагоналей, то треугольники $AOD$ и $COB$ подобны. Дальше нужно воспользоваться формулой площади через произведение диагоналей.

[Someone]

Или провести через точку $C$ прямую, параллельную $BD$, до пересечения с продолжением $AD$...

[Кудя]

Убирай косинусы, через них слишком сложно.
1) Докажи, что треугольники AOD и COB подобны.
2) найди по Герону (либо как у прямоугольного треугольника) площадь треугольника АОД, и найди высоту ОН этого треугольника, аналогично- с треугольником СОВ.
3) Высота трапеции равна сумме высот треугольников.

[4arodej]

KPEHgEJIb писал(а):

Действует ли для трапеции свойство, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон? Если нет, то значит ошибка уже в этом.

Это характеристическое свойство параллелограмма

[KPEHgEJIb]

bobo,
Someone,
Кудя,
4arodej,
Спасибо, разобрался. Ответ получился ровно 96.

[bekas]

Зачем же так сходу отметать теорему косинусов? Вам просто повезло, что диагонали оказались перпендикулярными - далее следует известная формула площади любого четырехугольника как полупроизведение длин его диагоналей на синус угла между ними, то есть 12*16/2 = 96. Вот как раз для получения синуса проще всего применить как раз теорему косинусов на основании всех известных длин треугольника, а потом по известному тождеству получить синус.

[Someone]

Если последовать моему совету и провести-таки указанную прямую, то получится треугольник со сторонами 12, 16 и 15+5=20, равновеликий заданной трапеции. Даже если не заметить, что он прямоугольный, можно воспользоваться формулой Герона.

[KPEHgEJIb]

Я воспользовался методом bobo, но ваши, bekas
и Someone, способы мне тоже помогли. Спасибо