Числа без нулей, кратные сумме своих цифр

[Ktina]

а) Существует ли 100-значное число без нулей, делящееся на сумму своих цифр?
б) Существует ли 101-значное число без нулей, делящееся на сумму своих цифр?
в) Существует ли 2017-значное число без нулей, делящееся на сумму своих цифр?

а) Думаю, что если записать число 1125 без пробелов подряд 25 раз, то мы получим 100-значное число без нулей, сумма цифр которого будет равна 225, а само число тоже будет делиться на 225, так как число 1125 делится на 225.

б) Тут можно действовать похожим способом, но пойти на небольшое ухищрение. Записать число 2625 без пробелов подряд 24 раза, а затем приписать справа число 11625. Мы получим 101-значное число без нулей, сумма цифр которого будет равна 375, а само число тоже будет делиться на 375, поскольку и число 2625, и число 11625 делятся на 375.

в) А вот в третьем пункте уловка, сработавшая в двух предыдущих, даёт, по-моему, сбой.

Пожалуйста, помогите решить.

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1266566 писал(а):

в) Существует ли 2017-значное число без нулей, делящееся на сумму своих цифр?

Существует: число из 2017 единиц, увеличенное на 2021, делится на сумму своих цифр (2022) и не имеет нулей.

[Ktina]

Dmitriy40
Я правильно понимаю, что Ваш результат получен не без помощи вычислительной техники?

[Shadow]

Пусть суума цифр будет 2048.

[Ktina]

Shadow в сообщении #1266827 писал(а):

Пусть суума цифр будет 2048.

Пишем число из 2017 единичек, затем первые (слева) 26 единичек заменяем на двоечки, а вместо последних 11 единичек пишем вот эти 11 цифр:
11212122112.
Сумма цифр будет 2048, делимость тоже будет, так как число, образованное последними 11-ю цифрами делится на 2048.

Вы это имели в виду?

[Shadow]

Что-то вроде. 11212122112 - это пишем в конце (или любое другое, делящееся на 2048) а другие какie угодно, лишь бы сумма была 2048. (Вспомним признак делимости на $2^k$)

[Ktina]

Shadow
Большое Вам спасибо!

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1266648 писал(а):

Dmitriy40
Я правильно понимаю, что Ваш результат получен не без помощи вычислительной техники?

Да, калькулятором пользовался. Сначала установил делимость числа из 2016 единиц на 2017, потом дописал к нему справа 0 и стал пытаться по чуть-чуть увеличивать цифры справа до получения делимости на новую сумму цифр. Без калькулятора тяжко.