Расчёт теплового поля пластины с импульсным источ. энергии

[Navuhodonosor]

Всем доброго вечера.

Бьюсь над задачей уже долго, никак не могу понять, как её решить, от безвыходности пишу сюда, пожалуйста, помогите. Пытался и так, и эдак, исписал пол-тетради, но продвинулся лишь наполовину. Задание таково:

На поверхности керамической подложки толщиной$ h=1$ мм сформирован плёночный резистор прямоугольной формы со сторонами $2l_{1}\times 2l_{2}=0.4\times1$ мм Резистор является импульсным источником энергии, длительность импульса $\tau = 10^{-6}$с, тепловая мощность в импульсе Ф$=0.2$ Вт.
Рассчитайте толщину прогретого слоя подложки к концу действия импульса и температурное поле подложки, если коэффициенты теплопроводности и температуропроводности подложки $\lambda = 0.4$Вт/мК и $\alpha = 0.8\times 10^{-7}$$m^2$/с

Собственно, что я сделал:
1. Затёр до дыр вот эти страницы (Дульнев А. Г.):


2. Чётко понял модель полупространства;
3. Понял, как найти глубину прогрева подложки:
$x^{*}=2.36\sqrt{a\tau }=2.36\cdot 2.8284\cdot 10^{-7}=6.675\cdot 10^{-7}m$

4. Проверил правомерность применения модели полупространства к данной задаче:
$N=\frac{2l_{1}}{x^{*}}=\frac{2\cdot 10^{-4}}{6.675\cdot 10^{-7}}=1198.5018 >> 1$

5. Понял, как найти температуру в любой точке подложки:
$t(x,\tau_{imp} - t_{0})=\frac{1.13q}{\lambda }\sqrt{a \tau_{imp}}ierfc\frac{x}{2\sqrt{a \tau_{imp}}}$

Я не могу понять, как найти температурное поле. Как только пытаюсь в этом разобраться, путаюсь в обилии формул. Ситуацию осложняет то, что Гугл вообще не знает про температурные поля (только для строителей) либо предлагает программы для расчёта, а мне надо самому.

Просто прошу дать мне какую-нибудь наводку, в какую сторону вообще копать. К примеру - на какой странице приведённого учебника скрыта Суть? Явно будет недостаточно построить график по пункту 5, к тому же в этой формуле никак не используется Ф.

В книге (а я её прочёл) - сухие формулы и теория, практическое применение формул почти не показывается. Буду благодарен за любую помощь, не ругайте сильно заочника.

[Walker_XXI]

Navuhodonosor в сообщении #1265838 писал(а):

5. Понял, как найти температуру в любой точке подложки:
$t(x,\tau_{imp} - t_{0})=\frac{1.13q}{\lambda }\sqrt{a \tau_{imp}}ierfc\frac{x}{2\sqrt{a \tau_{imp}}}$

Я не могу понять, как найти температурное поле. Как только пытаюсь в этом разобраться, путаюсь в обилии формул.

Температурное поле подложки - это просто функция зависимости температуры от точки подложки. Т.е. нужно для каждой точки с координатами $(x,y,z)$ указать её температуру (момент времени, как я понял, фиксированный - это момент окончания импульса). Если Вы "поняли, как найти температуру в любой точке подложки", то проблем быть не должно.

Скажу сразу, что в указанную книгу Дульнева не заглядывал. Поэтому не очень понимаю, почему в приведённой Вами формуле только непонятная координата $x$ (глубина?), хотя подложка объёмная, и есть зависимость от какого-то $t_0$. Если это время, то выбор обозначений неудачен. И в правой части $t_0$ не наблюдается.

(Оффтоп)

А названия функций в математической моде лучше набирать прямым шрифтом - повышает "читабельность" формул: $\sqrt{a \tau_{imp}}\,i\mathrm{erfc}\,\frac{x}{2\sqrt{a \tau_{imp}}}$

[Navuhodonosor]

Walker_XXI в сообщении #1265849 писал(а):

Температурное поле подложки - это просто функция зависимости температуры от точки подложки.

Вот, уже чуть поменьше неопределённости, спасибо :)
То есть я должен составить некую функцию, по которой можно будет определить температуру в любой точке?
$t_0$ - это, скорее всего, начальная температура, а она не задана (хотя, если это она, то зачем её вычитать из длительности импульса?). Тоже запутало в первый раз, но, скорее всего, она просто не учитывается.

Walker_XXI в сообщении #1265849 писал(а):

не очень понимаю, почему в приведённой Вами формуле только непонятная координата $x$ (глубина?), хотя подложка объёмная

Если я правильно понял, то:
1. Так как резистор плёночный, то координата y (высота) отбрасывается;
2. Так как длина резистора значительно превышает ширину (вытянутый источник), то координату $z$ тоже можно отбросить.
Поэтому остаётся только $x$. Наверно, это не очень удачная формула в книге, может, у Вас есть другая? Или пример расчёта, ведь эту формулу надо как-то получить, а не просто переписать из книги.

(Оффтоп)

Я думал, я один запутаюсь в этом :)

[Walker_XXI]

Navuhodonosor в сообщении #1266007 писал(а):

$t_0$ - это, скорее всего, начальная температура, а она не задана (хотя, если это она, то зачем её вычитать из длительности импульса?). Тоже запутало в первый раз, но, скорее всего, она просто не учитывается.

Если $t_0$ -- начальная температура (и это логично), то скорее всего вместо минуса должна стоять запятая. Если начальную температуру не учитывать, то как Вы вообще собираетесь рассчитывать температуру резистора и подложки?

Navuhodonosor в сообщении #1266007 писал(а):

1. Так как резистор плёночный, то координата y (высота) отбрасывается;

Резистор-то плёночный, но подложка у вас толщиной 1 мм, что совпадает с длиной резистора (тут не очень понятно, почему пишете $2l_?$? Что обозначено через $l_1$ и $l_2$?). Плюс Вам нужно найти распределение температур в подложке, а не в плёнке резистора.

Navuhodonosor в сообщении #1266007 писал(а):

2. Так как длина резистора значительно превышает ширину (вытянутый источник), то координату $z$ тоже можно отбросить.

$1$ значительно превышает $0,4$? Это шутка такая?

Я полагаю, Вам просто надо разобраться в формулах (как минимум, что какой буквой обозначено), да и в теме, чтобы на качественном уровне понимать протекающие процессы. Задачи дают решать только после того, как объяснят теорию.

-- 17.11.2017, 13:20 --

Navuhodonosor
Прочитал первые два абзаца выложенного Вами скана. И Вам советую -- узнаете, что такое $x$.

[Navuhodonosor]

Walker_XXI в сообщении #1266023 писал(а):

$1$ значительно превышает $0,4$? Это шутка такая?

Там не 1 мм, а 4 мм (пардон, моя ошибка), размеры отличаются на порядок.

Walker_XXI в сообщении #1266023 писал(а):

Если начальную температуру не учитывать, то как Вы вообще собираетесь рассчитывать температуру резистора и подложки?

А начальная температура и не дана.

Walker_XXI в сообщении #1266023 писал(а):

е очень понятно, почему пишете $2l_?$? Что обозначено через $l_1$ и $l_2$?

Так в условии задачи.

Walker_XXI в сообщении #1266023 писал(а):

Задачи дают решать только после того, как объяснят теорию.

Я заочник, изучаю сам, как могу. Одиннадцатый раз перечитывать одно и то же уже просто нет сил.

Walker_XXI в сообщении #1266023 писал(а):

Прочитал первые два абзаца выложенного Вами скана. И Вам советую -- узнаете, что такое $x$.

Глубина, на которую проникает тепло.

[realeugene]

Navuhodonosor в сообщении #1265838 писал(а):

$x^{*}=2.36\sqrt{a\tau }=2.36\cdot 2.8284\cdot 10^{-7}=6.675\cdot 10^{-7}m$

А какова при этом толщина и теплоёмкость самого резистора?

Посчитанная вами толщина гораздо меньше поперечных размеров резистора, так что, краевыми эффектами можно пренебрегать, считая задачу одномерной. Эта толщина, также, гораздо меньше толщины подложки, а, значит, подложку можно считать полубесконечной. Остаётся одномерная задача теплопроводности в полубесконечность.

[Navuhodonosor]

realeugene в сообщении #1266039 писал(а):

А какова при этом толщина и теплоёмкость самого резистора?

Теплоёмкостью по условию задачи можно пренебречь.

realeugene в сообщении #1266039 писал(а):

Остаётся одномерная задача теплопроводности в полубесконечность.

Благодарю, а где можно почитать про методы их решения? Гугл выдаёт что-то монструозное.

[Walker_XXI]

Navuhodonosor в сообщении #1266035 писал(а):

Там не 1 мм, а 4 мм (пардон, моя ошибка), размеры отличаются на порядок.

На самом деле важно не то, что размеры отличаются на порядок (не такое уж и большое различие, чтобы пренебрегать другим измерением). А важно то, что тепловыделение одинаково по всей площади резистора, поэтому значение могут иметь только краевые эффекты, которыми можно пренебречь. Тогда остается именно, что глубина. Отсюда вывод, что найти температурное поле -- это указать зависимость температуры от глубины (т.к. зависимости от других координат нет ввиду равномерного тепловыделения по всей поверхности). Об этом, кстати, и на первой странице скана сказано - поле одномерно.

Navuhodonosor в сообщении #1266035 писал(а):

Одиннадцатый раз перечитывать одно и то же уже просто нет сил.

Боюсь, что придётся перечитать и 12-й раз, но уже держа в голове конкретные вопросы. :) Вы, практически, всё сделали. Осталось в формуле п.5 перейти от заданной в условиях задачи тепловой мощности $\Phi$ к $q$ и вместо условия начальной температуры $t_0$ перейти к условию нулевого теплового потока на бесконечности (формула 1.115 и далее в скане). К сожалению, сейчас нет времени разбираться детальнее.

realeugene в сообщении #1266039 писал(а):

Остаётся одномерная задача теплопроводности в полубесконечность

Об этом сказано на первой же странице скана учебника. И с пояснениями. :)

Navuhodonosor в сообщении #1266043 писал(а):

Благодарю, а где можно почитать про методы их решения? Гугл выдаёт что-то монструозное.

У Дульнева, на 1 и 2 страницах скана, что Вы выложили, как раз об этом речь. И ссылка дана на решение ([14], если не ошибаюсь)

[Navuhodonosor]

Walker_XXI в сообщении #1266089 писал(а):

найти температурное поле -- это указать зависимость температуры от глубины

Влияет ли на расчёты то, что не дана начальная температура?

И правильно ли я понимаю, что надо повнимательнее присмотреться к этой формуле:

Navuhodonosor в сообщении #1265838 писал(а):

$t(x,\tau_{imp} - t_{0})=\frac{1.13q}{\lambda }\sqrt{a \tau_{imp}}ierfc\frac{x}{2\sqrt{a \tau_{imp}}}$

?
Если я правильно понял, то именно она и даст нам, в конце концов, искомое тепловое поле.

-- 17.11.2017, 18:07 --

Walker_XXI в сообщении #1266089 писал(а):

вместо условия начальной температуры $t_0$ перейти к условию нулевого теплового потока на бесконечности

Вот оно: $\frac{\partial t(\infty, \tau )}{\partial x}$. На бесконечной глубине (а она по сути бесконечна, ведь глубина прогрева несоизмеримо меньше толщины подложки) тепловой поток равен 0. Я это понял. Пытаюсь понять дальше: чтобы перейти от $t_0$ к тому, что я написал выше, надо $t_0$ заменить на значение $t(0, \tau)$ - я прав? И затем уже воспользоваться этим:

Navuhodonosor в сообщении #1266105 писал(а):

$t(x,\tau_{imp} - t_{0})=\frac{1.13q}{\lambda }\sqrt{a \tau_{imp}}ierfc\frac{x}{2\sqrt{a \tau_{imp}}}$

Да?

-- 17.11.2017, 18:17 --

И будет ли правильным переводить Ф в $q$ простым делением Ф на площадь резистора в метрах?

[Dmitriy40]

Насколько я понял, $t_0$ это начальный момент времени, т.к. далее в формуле участвует лишь длительность импульса $\tau_{imp}$ (а не температура импульса). И соответственно формула задаёт распределение температуры по глубине и в зависимости от длительности импульса.
Заменять $t_0$ ни на что не надо, я бы просто вычеркнул. Похоже это просто напоминание относительно чего измеряется длительность импульса.
Ну и из общих соображений, формула выдаёт не саму температуру, а её превышение над исходной, т.к. в формуле нигде не фигурирует исходная температура.

[realeugene]

Navuhodonosor в сообщении #1266043 писал(а):

Благодарю, а где можно почитать про методы их решения? Гугл выдаёт что-то монструозное.

Строго методы решения таких задач изучаются в курсе уравнений математической физики. В учебниках по этому курсу и следует читать их детальное описание. В ваших сканах из учебника Дульнева краткая выжимка.

-- 18.11.2017, 11:07 --

Navuhodonosor в сообщении #1265838 писал(а):

5. Понял, как найти температуру в любой точке подложки:
$t(x,\tau_{imp} - t_{0})=\frac{1.13q}{\lambda }\sqrt{a \tau_{imp}}ierfc\frac{x}{2\sqrt{a \tau_{imp}}}$

Грубо говоря, "поле" - это функция координат. От вас, похоже, хотят, чтобы вы построили график температуры подложки в момент времени окончания импульса. Эта температура и даётся просто выписанной вами формулой из учебника, не нужно, только, забывать, что она даёт превышение температуры по отношению к начальной.

[Navuhodonosor]

realeugene в сообщении #1266357 писал(а):

Navuhodonosor в сообщении #1266043 писал(а):

Благодарю, а где можно почитать про методы их решения? Гугл выдаёт что-то монструозное.

Строго методы решения таких задач изучаются в курсе уравнений математической физики. В учебниках по этому курсу и следует читать их детальное описание. В ваших сканах из учебника Дульнева краткая выжимка.

-- 18.11.2017, 11:07 --

Navuhodonosor в сообщении #1265838 писал(а):

5. Понял, как найти температуру в любой точке подложки:
$t(x,\tau_{imp} - t_{0})=\frac{1.13q}{\lambda }\sqrt{a \tau_{imp}}ierfc\frac{x}{2\sqrt{a \tau_{imp}}}$

Грубо говоря, "поле" - это функция координат. От вас, похоже, хотят, чтобы вы построили график температуры подложки в момент времени окончания импульса. Эта температура и даётся просто выписанной вами формулой из учебника, не нужно, только, забывать, что она даёт превышение температуры по отношению к начальной.

То есть надо построить график функции по пятой формуле? Я рассматривал такой вариант (в стартовом сообщении об этом писал), но как-то это слишком просто, КМК.

[realeugene]

Navuhodonosor в сообщении #1266361 писал(а):

То есть надо построить график функции по пятой формуле? Я рассматривал такой вариант (в стартовом сообщении об этом писал), но как-то это слишком просто, КМК.

Да, построить график функции. Мне кажется, от вас ваши преподаватели хотят именно этого. Всё-таки у вас курс не по уравнениям матфизики, а по применению формул из справочника. Если вы будете понимать качественно эти формулы и уметь посчитать по ним что-то количественно, это будет именно то, что хочет от вас ваш преподаватель.

Disclaim: я не ваш преподаватель и не могу точно знать, чего именно он от вас хочет.

[Navuhodonosor]

realeugene в сообщении #1266362 писал(а):

Да, построить график функции. Мне кажется, от вас ваши преподаватели хотят именно этого. Всё-таки у вас курс не по уравнениям матфизики, а по применению формул из справочника. Если вы будете понимать качественно эти формулы и уметь посчитать по ним что-то количественно, это будет именно то, что хочет от вас ваш преподаватель.

2 курс заочки, предмет - "Теплообмен в РЭС".

Хорошо, значит, всё-таки строить график.

Тогда ещё вопрос, тоже была большая непонятка.

В книге написано, что функции ошибок Гаусса ($ierfc \frac{x}{2\sqrt{a \tau_{imp}}}$) таблицированы и даже приводится номер таблицы, но в книге её нет. В Интернете тоже нет, перерыл всё, что мог. Собственно, вопрос - где её брать?

[realeugene]

Navuhodonosor в сообщении #1266383 писал(а):

Собственно, вопрос - где её брать?

Например, из выражения (1.117)
erf (функция ошибок) табулирована много где, кроме того, многие расчётные пакеты и, даже, инженерные калькуляторы, её считают.