Последний раз редактировалось Grivsheb 15.11.2017, 11:34, всего редактировалось 1 раз.
НОВЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКТ
Если на плоскости даны прямая и не лежащая на ней точка, то через данную точку и любую точку данной прямой проходит прямая (т.е.: данная точка имеет по общей прямой со «всеми» точками данной прямой). Справедливость этого утверждения прямо следует из самой первой аксиомы геометрии: через любые две точки проходит прямая.
Кажется, что данная теорема проста до очевидности. Между тем для того, чтобы её сформулировать и доказать, потребовалось около двух с половиной тысяч лет. Ибо перед нами не что иное, как доказательство знаменитого Пятого постулата, считавшегося (да и поныне всё ещё считающегося) недоказуемым.
Проблема Пятого постулата («аксиомы параллельности») сводится к вопросу о том, сколько прямых линий, не пересекающихся с данной прямой, можно провести через точку, лежащую вне данной прямой. Пятый постулат утверждает, что существует всего одна такая прямая – та, которая не сближается с данной прямой и не отдаляется от неё. Именно такие прямые линии Евклидом определяются как параллельные. Все прочие прямые, проходящие через означенную точку, в одном из направлений сближаются с данной прямой линией вплоть до встречи (пересечения) с нею.
Но так как попытки доказать это утверждение долгое время не приносили успеха, математики в конце концов пришли к выводу о недоказуемости (аксиоматичности) Пятого постулата. И постановили, будто столь же правомерным, как и Пятый постулат, является противоположное утверждение: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Другими словами, существуют прямые, которые, бесконечно сближаясь, так и не пересекаются.
Теперь вспомним выше доказанную теорему: не лежащая на данной прямой точка имеет по общей прямой со «всеми» точками данной прямой. Очевидно, что эта теорема не оставляет места такому допущению, как существование сближающихся, но не пересекающихся прямых линий. На «данной прямой линии» просто не остаётся точки, которую не пересекала бы прямая, проходящая через «данную точку».
Но, как известно, очевидность (особенно в математике) – аргумент не достаточный. Итак, вопрос: если через точку A, не лежащую на прямой a, и через любую точку прямой a проходит прямая, то возможно ли, чтобы через точку A проходила такая прямая b, которая бы сближалась, но не пересекалась с прямой a? Докажем, что это – невозможно.
Теорема: Если «первая аксиома» выполняется и через данную точку и всякую точку данной прямой проходит прямая, то прямая, проходящая через данную точку и сближающаяся, но не пересекающаяся с данной прямой - невозможна.
Доказательство: Любая сближающаяся с данной прямой и проходящая через данную (вне данной прямой) точку (A) прямая (b) проходит через вершину (A) и внутреннюю область треугольника, двумя сторонами которого являются отрезки (AC и AD), лежащие на проходящих через данную точку прямых (c и d), пересекающих данную прямую (a). У этих отрезков-сторон один конец – общий (точка A), а два других различны (точки их пересечения с прямой a). Третьей стороной будет отрезок (CD), отсекаемый на данной прямой этими двумя прямыми. Поскольку наша гипотетическая прямая (b) бесконечна, она должна какую-то сторону указанного треугольника пересечь. Со сторонами, лежащими на «боковых» прямых (c и d) у неё уже есть общая точка (точка-вершина A). А, значит, «прямая-гипотеза» ни одну из них пересечь не может. Следовательно, она пересечёт (в некой точке B) сторону (CD), лежащую на данной прямой a. Следовательно, прямая линия, проходящая через данную точку и сближающаяся с данной прямой, но её не пересекающая – невозможна. Что и требовалось доказать.
Представленное доказательство Пятого постулата – лишь одно из достаточно длинного ряда таковых, уже «имеющихся в наличии». С дюжину доказательств опубликовано в небольшом (брошюра менее чем в 40 страниц) трактате Григория Шевчука (Бутицкого) "Заклятая аксиома. Заметки о параллельности" ("Отчий край", Белгород, 2017; ISBN: 978-5-85153-162-0). Ещё несколько – на сайте математического форума мехмата МГУ (тема «Доказательство V постулата (аксиомы параллельности)»). При этом все доказательства друг с другом «стыкуются», друг друга дополняют и подтверждают. Это – тоже показатель. Хотя, в общем-то, для принципиального решения проблемы вполне достаточно и одного единственного действительного доказательства, остальное – прилагается.
Вряд ли можно сомневаться в том, что вскоре начнут появляться всё новые и новые доказательства Пятого постулата. Теорема Пифагора доказана более чем ста пятьюдесятью способами. Думаю, что способов доказать Пятый постулат будет изобретено не меньше. Впрочем, «вскоре» - понятие растяжимое. Всё зависит от того, насколько математики готовы (или не готовы) признать и осмыслить тот факт, что Пятый постулат, вопреки полутора вековому предрассудку, доказуем и доказан.
Да, доказательство Пятого постулата есть состоявшийся факт. И раньше или позже – не суть важно, но лучше бы пораньше – данный факт признать придётся. Вопрос лишь в том, когда? Рано или поздно – но лучше бы пораньше…
|
