Интеграл от z/sin(z)

[Tell Wilhelm]

Здравствуйте. Вспоминаю простейшую математику решая задачи из задачника. Наткнулся на следующий пример с ответом.

$$ \oint\limits_{|z|=315} \frac{z}{\sin(z)}\;dz=200 \pi^2 i. $$

Я не могу получить такой же ответ. Как я пытаюсь решать?

1. Интеграл от комплексной функции по замкнутому контуру можно вычислить с помощью приложений теории вычетов, т. е.

$$ \oint\limits_{|z|=315} \frac{z}{\sin(z)}\;dz=2\pi i \sum_{k}^{n} \underset{z=z_{k}}{\mathrm{res}}\frac{z}{\sin(z)}, $$

где суммирование по изолированным особым точкам внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 315.

2. Изолированные точки функции $z/\sin(z)$ задаются нулями знаменателя. То есть:

$$ z_k = \pi k, k \in \mathbb{Z}. $$

Из них попадают в окружность с радиусом 315 точки удовлетворяющие

$$ |k| \le 100. $$

3. Точка $k=0$ является устранимой, т. к. $\lim_{z\to0}z/\sin(z) = 1$, а точки $k\neq0$ являются полюсами, т.к. $\lim_{z\to \pi k, k\neq 0}z/\sin(z) = \infty$. Эти полюса 1-го порядка, проверил по разложения в ряд Лорана. Тогда мы можем воспользоваться формулой для вычисления вычетов в полюсах:

$$ \underset{z=\pi k, k\neq 0}{\mathrm{res}}\frac{\phi(z)}{\psi(z)} = \frac{\phi(\pi k)}{\psi'(\pi k)} = \frac{\pi k}{\cos(\pi k)} = (-1)^k \pi k. $$

4. Суммируя по всем точкам получим:

$$ \oint\limits_{|z|=315} \frac{z}{\sin(z)}\;dz=2\pi^2 i \sum_{k=-100}^{100} (-1)^k k. $$

Здесь сумма вкладов отрицательной и положительной частей компенсирует друг друга, это видно, если сложить 2 члена с $k$ и $-k$: $|k|(-1)^{|k|}-|k|(-1)^{-|k|}=|k|((-1)^{|k|}-((-1)^{-|k|})=0$. Сравнивая с ответом видно, что сумма этого ряда должна быть 100.

Видимо где-то у меня существенное недопонимание теории. Не могли бы вы подсказать? Спасибо.

[Otta]

Да нет, вроде с Вами все в порядке. Более того, нетрудно показать, что интеграл от четной функции по центральносимметричному контуру заведомо нулевой - если существует, конечно.

[Tell Wilhelm]

Otta в сообщении #1265073 писал(а):

Да нет, вроде с Вами все в порядке. Более того, нетрудно показать, что интеграл от четной функции по центральносимметричному контуру заведомо нулевой - если существует, конечно.

Спасибо, значит нулевое численное значение при проверке в Wolfram Mathematica не было ошибкой вычислений. Проблема в задачнике.