Оценка вероятности по частоте

[MestnyBomzh]

Наткнулся на интервал для истинной вероятности биномиального распределения по частоте. Она довольно легко выводится из ЦПТ. После нескольких преобразований для общего случая ЦПТ я получил:

$$\frac{p_{est}-p_{true}}{\frac{\sqrt{p_{true}\cdot(1-p_{true})}}{\sqrt{n}}} \sim N(0;1)$$

Разумеется, при $n$ большом. Так вот у меня вопрос. Мы же делаем оценку для $p_{true}$, но при этом она сама стоит и в знаменателе. Насколько я помню, при большом $n$ в знаменателе при неизвестном $\sigma$ мы заменяли его на оценку $\hat{s}$. То есть и тут следует заменить неизвестную дисперсию на её оценку. Судя по формуле из интернета, мы просто заменяем $p_{true}$ на $p_{est}$. Мне не очень очевидно, почему ээто та самая оценка, на которую нужно заменить. Подскажите, почему такая оценка, а не, например, $\hat{s}$?

[--mS--]

Не уверена, что мы одно и то же понимаем под $\hat s$, но если это корень из выборочной дисперсии, то это ровно то же самое, что и стоит знаменателе: $\sqrt{\overline X(1-\overline X)}$.

[MestnyBomzh]

--mS--
Да, я её и подразумеваю. Вот только корень из выборочной дисперсии разве не
$\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(X_i - \bar X)^2$ ?

[--mS--]

Корень из выборочной дисперсии - это корень из $\frac1n \sum(X_i-\overline X)^2$. Раскройте скобочки и убедитесь, что это то же самое.