Равносильность по определению

[kernel1983]

Верно ли следующее? Пусть есть некоторое определение. Например, определение равносильности формул логики высказываний. Формулы $F$ и $G$, зависящие от пропозициональных переменных $P_1,P_2, \ldots, P_n$, называются равносильными, если для любых высказываний $A_1,A_2, \ldots, A_n$ истинностные значения высказываний $F(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ и $G(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ совпадают. Тогда можно сказать, что истинно (в силу определения) такое высказывание "Формулы $F$ и $G$, зависящие от пропозициональных переменных $P_1,P_2, \ldots, P_n$, являются равносильными тогда и только тогда, когда для любых высказываний $A_1,A_2, \ldots, A_n$ истинностные значения высказываний $F(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ и $G(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ совпадают". В этом высказывании устанавливается равносильность по определению высказываний "Формулы $F$ и $G$, зависящие от пропозициональных переменных $P_1,P_2, \ldots, P_n$, являются равносильными" и "Для любых высказываний $A_1,A_2, \ldots, A_n$ истинностные значения высказываний $F(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ и $G(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ совпадают".

[arseniiv]

Да. Короче, если $\varphi$ по определению равносильно $\psi$, то $\varphi\leftrightarrow\psi$ общезначима. Множеством индексов вы только добавили путаницы в чтение. Определение из теории с аксиомами $A$ делает теорию с аксиомами $A\cup\{\text{определяющая аксиома}\}$ и дополнительным символом в сигнатуре, и в случае определения предикатного $p$ новая аксиома как раз будет иметь вид равносильности $p(\text{переменные})\leftrightarrow\text{сокращаемая формула}$, в данном случае.

Вообще, я бы и определение ваше поправил, написав $F[A_1/P_1,\ldots,A_n/P_n]$ вместо $F(A_1,\ldots,A_n)$, сделав замену явной. Или, хотя это хуже, написав вначале «формулы $F(P_1,\ldots,P_n)$…» (тогда внезапное появление скобок ниже станет закономерным).

[kernel1983]

arseniiv в сообщении #1264895 писал(а):

Да. Короче, если $\varphi$ по определению равносильно $\psi$

Спасибо за ответ!
А все ли определения содержат в себе такие равносильности? Определения ведь высказываниями не являются (хотя имеют импликативную форму). Они устанавливают "тождество" двух понятий - определяемого и определяющего.Тогда факт, "зашитый в определяемом", имеет место тогда и только тогда, когда имеет место факт, "зашитый в определяющем". Я прав?

[arseniiv]

Ну, это, по-мне, уже философия какая-то пошла, не могу ничего конкретно ответить. Определение можно рассматривать двумя способами: (1) просто как ввод в использование нового сокращения, которое, предполагается, сразу раскрывается, и на деле мы имеем только один язык и одну и ту же теорию в нём, или (2) как способ порождения по одной теории её (консервативного) расширения, теории в обогащённом языке. Эта теория получается как теория с аксиомами исходной, к которым добавлена определяющая новый символ аксиома. Которая может выглядеть не обязательно как $\varphi\leftrightarrow\psi$. Притом она даже такой-то вид будет иметь, только если мы разрешаем незамкнутые формулы в качестве аксиом, или если $\varphi$ и $\psi$ замкнутые, но такие определения довольно скучные.

Итого, в подходе (1) вообще никаких эквивалентностей и импликаций нигде не просматривается, потому что если мы определим «окружность» как «эллипс с равными полуосями», высказывание «окружность — это эллипс» будет на деле высказыванием «эллипс с равными полуосями — это эллипс». В подходе (2) (хотя перевод из нового языка в старый в нём тоже можно выразить, так что это не что-то отличное от (1), это просто более полная картина) я тоже никакой «импликативности» не вижу.

По поводу (2) можете почитать https://en.wikipedia.org/wiki/Extension_by_definitions, довольно неплохо написано.