Уравнение кривой второго порядка в барицентричеких координат

[Rusit8800]

Как выглядит уравнение кривой второго порядка в барицентрических координатах? Поиск по инету ни к чему ни привел.

-- 12.11.2017, 16:53 --

Хотя нет, нашел здесь

$$\[2{a_{12}}{x_1}{x_2}{\text{ + }}2{a_{13}}{x_1}{x_3} + 2{a_{23}}{x_2}{x_3} + 2{a_{14}}{x_1} + 2{a_{24}}{x_2} + 2{a_{34}}{x_3} + {a_{44}} = 0\]$$

,
где $\[{x_1} + {x_2} + {x_3} = 1\]$

-- 12.11.2017, 16:55 --

Только проблема в том, что коника задается 5-ю точками, а здесь 7 коэффициентов. Не хватает 2 уравнений.

[svv]

Эти два уравнения взять неоткуда, в том смысле, что множеству различных уравнений вида

$$\[2{a_{12}}{x_1}{x_2}{\text{ + }}2{a_{13}}{x_1}{x_3} + 2{a_{23}}{x_2}{x_3} + 2{a_{14}}{x_1} + 2{a_{24}}{x_2} + 2{a_{34}}{x_3} + {a_{44}} = 0\]$$

может соответствовать одна и та же кривая второго порядка (примеры ниже). Все они «правильные», и, если мы хотим однозначности, правило, по которому одно из этих уравнений «лучше» других, надо добавлять искусственно. Для этого посмотрим, какие преобразования коэффициентов не меняют кривую, и чего можно с их помощью добиться.

1) К коэффициентам $a_{14}, a_{24}, a_{34}$ добавим число $b$, а от $a_{44}$ отнимем $2b$. В результате к левой части добавится число

$$2bx_1+2bx_2+2bx_3-2b=0$$

Таким преобразованием можно добиться $\tilde a_{44}=0$, либо $\tilde a_{14}+\tilde a_{24}+\tilde a_{34}=0$ — что больше по вкусу (тильдой обозначены коэффициенты после преобразования).

2) Все коэффициенты можно умножить на одно и то же ненулевое число $c$, получим эквивалентное уравнение. Таким преобразованием можно добиться того, что какой-то один ненулевой коэффициент станет равным единице.