Точечный диполь и уравнение Пуассона

[StaticZero]

Для одиночного заряда $q$ на цилиндрической оси в точке $z_0$ в цилиндрических координатах функция плотности зарядов имеет вид

$$ \rho(r, \theta, z) = \dfrac{q \delta(z-z_0)\delta(r)}{2 \pi r}. $$

Конечный диполь с $\mathbf d = q \mathbf l$ запишется, например, так:

$$ \rho(r, \theta, z) = \dfrac{q \delta(r)}{2 \pi r} \left[ \delta(z - z_0) - \delta(z - z_0 + l) \right]. $$

Чтобы получить точечный диполь, нужно сделать переход $l \to 0$, $q \to \infty$, $q l = \operatorname{const}$. Как это сделать в этом случае, ведь если втупую разместить два заряда $+q$ и $-q$ в одной точке, то $\rho = 0$?

[Vince Diesel]

А зачем цилиндрические координаты? В декартовых потенциал двух зарядов $((4\pi (r+l \bar k))^{-1}-(4\pi (r-l \bar k))^{-1})/(2l)$; делить на $2l$ надо, чтобы при $l\to+0$ не получался ноль. И в пределе потенциалом диполя будет производная от $(4\pi r)^{-1}$ по $z$.

[StaticZero]

Vince Diesel в сообщении #1264759 писал(а):

А зачем цилиндрические координаты?

Задача про диполь в цилиндре.

[AnatolyBa]

А обязательно задавать плотность заряда диполя аналитически?
Можно, конечно, формально через производную от дельта-функции. Но мне, скажем, было бы удобнее найти сначала поле точечного заряда а затем взять производную по $z$

[StaticZero]

AnatolyBa в сообщении #1264778 писал(а):

А обязательно задавать плотность заряда диполя аналитически?

Да.

[AnatolyBa]

Ну тогда (если диполь направлен вертикально).

$$\rho(r, \theta, z) = \dfrac{d \delta(r)}{2 \pi r} \delta'(z - z_0) $$

Производная от дельта-функции штука непривычная, но работает. В том смысле, что ее можно разлагать в интеграл Фурье и т. д.
($d$ - не дифференциал, а величина диполя)

[StaticZero]

А. То есть

StaticZero в сообщении #1264727 писал(а):

нужно сделать переход $l \to 0$, $q \to \infty$, $q l = \operatorname{const}$

можно просто умножив и разделив здесь

StaticZero в сообщении #1264727 писал(а):

$$ \rho(r, \theta, z) = \dfrac{q \delta(r)}{2 \pi r} \left[ \delta(z - z_0) - \delta(z - z_0 + l) \right]. $$

на $l$:

$$ \rho(r, \theta, z) = \dfrac{ql \delta(r)}{2 \pi r l} \left[ \delta(z - z_0) - \delta(z - z_0 + l) \right] = \dfrac{d \delta(r)}{2 \pi r} \dfrac{\delta(z - z_0) - \delta(z - z_0 + l)}{l}, $$

только здесь подразумевается, что положительный заряд находится в точке $z_0$, отрицательный — в точке $z_0 - l$, то есть диполь направлен вверх. В пределе имеем

$$ \rho(r, \theta, z) = -\dfrac{d \delta(r)\delta'(z-z_0)}{2 \pi r}. $$

А у вас нет минуса. А у меня есть. Как понять, где правильно?

[amon]

Не знаю, поможет ли Вам это, но дипольный источник можно описать плотностью $-p(\nabla,\mathbf{n})\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0).$ Здесь $p$ - величина дипольного момента, а $\mathbf{n}$ - его направление.

[AnatolyBa]

Со знаком, наверно, у вас правильно. Я вечно путаю

[Kamaz]

amon
А как это получить? Где посмотреть? Действует ли набла на координату внутри дельта-функции?

[amon]

Kamaz в сообщении #1265525 писал(а):

А как это получить?

Проще всего, наверно, так. Точечному диполю соответствует поляризация $\mathbf{P}=p\mathbf{n}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$ (здесь $p$ - величина поляризации, а $\mathbf{n}$ - единичный вектор вдоль её направления). Заряд, соответствующий этой поляризации, стоящий в правой части уравнения Пуассона, будет $\rho=-\operatorname{div}\mathbf{P},$ откуда $\rho=-p(\nabla,\mathbf{n})\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0).$ Часть $(\nabla,\mathbf{n})$ действует на $\delta$-функцию, и в частном случае когда $\mathbf{n}$ направлено вдоль $z$ получится формула, приведенная StaticZero и AnatolyBa.

[svv]

Возможен ещё «полевой» подход — показать, что потенциал (и, следовательно, поле) точечного диполя $\varphi(\mathbf r)=\frac{\mathbf p\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)}{|\mathbf r-\mathbf r_0|^3}$ всюду, где определён, равен потенциалу распределённого заряда с плотностью $\rho(\mathbf r)=-(\mathbf p\cdot\nabla)\delta(\mathbf r-\mathbf r_0)$.

Kamaz в сообщении #1265525 писал(а):

Действует ли набла на координату внутри дельта-функции?

Она только на неё ($\mathbf r$) и действует.
$p, \mathbf n, \mathbf r_0$ — константы.